Упр.32.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $$y=x^3-2x^2+1,\ [0{,}5;+\infty)$$; б) $$y=x-2\sqrt{x},\ [0;+\infty)$$; в) $$y=\frac{1}{5}x^5-x^2,\ (-\infty;1]$$; г) $$y=\frac{x^4}{x^4+1},\ (-\infty;+\infty)$$.
а) $$y=x^3-2x^2+1,\quad x\in[0{,}5;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’ = 3x^2-4x = x(3x-4).$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=\frac43.$$
Вычислим значение функции в этой точке и на левом конце промежутка:
$$y\!\left(\frac43\right)=\left(\frac43\right)^3-2\left(\frac43\right)^2+1=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+1=-\frac{5}{27},$$
$$y(0{,}5)=\left(\frac12\right)^3-2\left(\frac12\right)^2+1=\frac18-\frac12+1=\frac58.$$
При $$x\to+\infty$$ имеем $$y\to+\infty,$$ значит наибольшего значения на промежутке нет.
Ответ: $$y_{\min}=-\frac{5}{27},\quad y_{\max}\text{ — нет.}$$
б) $$y=x-2\sqrt{x},\quad x\in[0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’ = 1-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}.$$
Критическая точка: $$x=1.$$
Сравним значения функции в точке $$x=1$$ и на границе области определения:
$$y(0)=0-2\sqrt{0}=0,$$
$$y(1)=1-2\sqrt{1}=-1.$$
При $$x\to+\infty$$ имеем $$y\to+\infty,$$ значит наибольшего значения на промежутке нет.
Ответ: $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}\text{ — нет.}$$
в) $$y=\frac15x^5-x^2,\quad x\in(-\infty;1]$$
Найдём производную:
$$y’ = x^4-2x = x(x^3-2).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\sqrt[3]{2},$$ но на данном промежутке лежит только $$x=0.$$
Вычислим значения функции в точке $$x=0$$ и на правом конце промежутка:
$$y(0)=\frac15\cdot 0^5-0^2=0,$$
$$y(1)=\frac15\cdot 1^5-1^2=\frac15-1=-\frac45.$$
При $$x\to-\infty$$ имеем $$y\to-\infty,$$ значит наименьшего значения нет.
Ответ: $$y_{\min}\text{ — нет},\quad y_{\max}=0.$$
г) $$y=\frac{x^4}{x^4+1},\quad x\in(-\infty;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x^4)'(x^4+1)-x^4(x^4+1)’}{(x^4+1)^2} =\frac{4x^3(x^4+1)-x^4\cdot 4x^3}{(x^4+1)^2} =\frac{4x^3}{(x^4+1)^2}.$$
Критическая точка: $$x=0.$$
$$y(0)=\frac{0^4}{0^4+1}=0.$$
Так как $$x^4\ge 0,$$ то $$0\le \frac{x^4}{x^4+1}<1,$$ а при $$x\to\pm\infty$$
$$\frac{x^4}{x^4+1}\to 1.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ а наибольшего значения функция не достигает.
Ответ: $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}\text{ — нет.}$$
