Упр.32.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: а) $$y=\operatorname{ctg}x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$; б) $$y=2\sin x-x,\quad x\in[0;\pi]$$; в) $$y=2\cos x+x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$; г) $$y=\operatorname{tg}x-x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$.

Рассмотрим каждую функцию на заданном отрезке и найдём её наименьшее и наибольшее значения.

1. $$y=\ctg x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$

   $$y'(x)=\left(\ctg x\right)’+(x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}+1=\frac{\sin^2 x-1}{\sin^2 x}\le 0.$$

   Значит, функция убывает на данном отрезке, поэтому

   $$y_{\max}=y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=1+\frac{\pi}{4},$$

   $$y_{\min}=y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\ctg\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=-1+\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi-4}{4}.$$

   Следовательно,

   $$y\in\left[\frac{3\pi-4}{4};\frac{\pi+4}{4}\right].$$

2. $$y=2\sin x-x,\quad x\in[0;\pi]$$

   $$y'(x)=2\cos x-1.$$

   Найдём критическую точку:

   $$2\cos x-1=0,\qquad \cos x=\frac12,\qquad x=\frac{\pi}{3}.$$

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$y(0)=0,$$

   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3},$$

   $$y(\pi)=2\sin\pi-\pi=-\pi.$$

   Значит,

   $$y_{\min}=-\pi,\qquad y_{\max}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$y\in\left[-\pi;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right].$$

3. $$y=2\cos x+x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$y'(x)=-2\sin x+1.$$

   Найдём критическую точку:

   $$-2\sin x+1=0,\qquad \sin x=\frac12,\qquad x=\frac{\pi}{6}.$$

   Вычислим значения функции:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2},$$

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}+\frac{\pi}{6},$$

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

   Значит,

   $$y_{\min}=-\frac{\pi}{2},\qquad y_{\max}=\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}.$$

   Следовательно,

   $$y\in\left[-\frac{\pi}{2};\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}\right].$$

4. $$y=\tg x-x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$

   $$y'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\ge 0.$$

   Значит, функция возрастает на данном отрезке, поэтому

   $$y_{\min}=y(0)=0,$$

   $$y_{\max}=y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tg\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$y\in\left[0;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right].$$

Ответ

а) $$y\in\left[\frac{3\pi-4}{4};\frac{\pi+4}{4}\right]$$; б) $$y\in\left[-\pi;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right]$$; в) $$y\in\left[-\frac{\pi}{2};\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}\right]$$; г) $$y\in\left[0;\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right].$$