Упр.32.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x+\frac{4}{x-1}$$ на отрезке: а) $$[2;4]$$; б) $$[-2;0]$$.

Рассмотрим функцию $$y=x+\frac{4}{x-1}.$$

Найдём производную:

$$y’ = 1 — \frac{4}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2-4}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.$$

Критические точки: $$y’=0 \iff x=-1,\; x=3.$$

Точка $$x=1$$ не входит в область определения функции.

а) На отрезке $$[2;4]$$

На этом отрезке лежит критическая точка $$x=3$$, поэтому проверим значения функции в точках $$x=2,\;3,\;4$$:

$$y(2)=2+\frac{4}{2-1}=6,$$

$$y(3)=3+\frac{4}{3-1}=3+2=5,$$

$$y(4)=4+\frac{4}{4-1}=4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}.$$

Следовательно, на отрезке $$[2;4]$$:

$$y_{\min}=5,\qquad y_{\max}=6.$$

б) На отрезке $$[-2;0]$$

На этом отрезке лежит критическая точка $$x=-1$$, поэтому проверим значения функции в точках $$x=-2,\;-1,\;0$$:

$$y(-2)=-2+\frac{4}{-2-1}=-2-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3},$$

$$y(-1)=-1+\frac{4}{-1-1}=-1-2=-3,$$

$$y(0)=0+\frac{4}{0-1}=-4.$$

Следовательно, на отрезке $$[-2;0]$$:

$$y_{\min}=-4,\qquad y_{\max}=-3.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=5,\; y_{\max}=6$$; б) $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=-3$$.