Упр.32.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1$$ на отрезке: а) $$[-1; 2]$$; б) $$[1; 6]$$; в) $$[-2; 3]$$; г) $$[-1; 7]$$.

Найдём производную функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1.$$

$$y’ = 4x^3-24x^2+20x = 4x(x^2-6x+5)=4x(x-1)(x-5).$$

Критические точки: $$x=0,\; x=1,\; x=5.$$

а) $$[-1;2]$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках, попадающих на отрезок:

$$y(-1)=(-1)^4-8(-1)^3+10(-1)^2+1=20,$$
$$y(0)=1,\quad y(1)=4,\quad y(2)=2^4-8\cdot2^3+10\cdot2^2+1=-7.$$

Следовательно, на отрезке $$[-1;2]$$:

$$y_{\min}=-7,\qquad y_{\max}=20.$$

б) $$[1;6]$$

Проверим значения в точках $$x=1,\;5,\;6$$:

$$y(1)=4,\quad y(5)=5^4-8\cdot5^3+10\cdot5^2+1=-124,$$
$$y(6)=6^4-8\cdot6^3+10\cdot6^2+1=-71.$$

Следовательно, на отрезке $$[1;6]$$:

$$y_{\min}=-124,\qquad y_{\max}=4.$$

в) $$[-2;3]$$

Проверим значения в точках $$x=-2,\;0,\;1,\;3$$:

$$y(-2)=(-2)^4-8(-2)^3+10(-2)^2+1=121,$$
$$y(0)=1,\quad y(1)=4,\quad y(3)=3^4-8\cdot3^3+10\cdot3^2+1=-44.$$

Следовательно, на отрезке $$[-2;3]$$:

$$y_{\min}=-44,\qquad y_{\max}=121.$$

г) $$[-1;7]$$

Проверим значения в точках $$x=-1,\;0,\;1,\;5,\;7$$:

$$y(-1)=20,\quad y(0)=1,\quad y(1)=4,\quad y(5)=-124,$$
$$y(7)=7^4-8\cdot7^3+10\cdot7^2+1=148.$$

Следовательно, на отрезке $$[-1;7]$$:

$$y_{\min}=-124,\qquad y_{\max}=148.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-7,\; y_{\max}=20$$; б) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=4$$; в) $$y_{\min}=-44,\; y_{\max}=121$$; г) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=148$$.