Упр.32.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: а) $$y=3x-6$$, $$[-1;4]$$; б) $$y=-\frac{8}{x}$$, $$\left[\frac{1}{4};8\right]$$; в) $$y=-0{,}5x+4$$, $$[-2;6]$$; г) $$y=\frac{3}{x}$$, $$[0{,}3;2]$$.
а) $$y=3x-6,\quad x\in[-1;4]$$
$$y'(x)=(3x-6)’=3>0$$
Функция возрастает на всём отрезке, значит, наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой:
$$y(-1)=3\cdot(-1)-6=-9$$
$$y(4)=3\cdot4-6=6$$
Ответ: $$y_{\min}=-9,\quad y_{\max}=6$$
б) $$y=-\frac{8}{x},\quad x\in\left[\frac14;8\right]$$
На данном отрезке $$x\neq 0$$, значит, функция определена и непрерывна. Найдём производную:
$$y'(x)=\left(-\frac{8}{x}\right)’=\frac{8}{x^2}>0$$
Функция возрастает на всём отрезке, поэтому:
$$y\left(\frac14\right)=-\frac{8}{1/4}=-32$$
$$y(8)=-\frac{8}{8}=-1$$
Ответ: $$y_{\min}=-32,\quad y_{\max}=-1$$
в) $$y=-0{,}5x+4,\quad x\in[-2;6]$$
$$y'(x)=(-0{,}5x+4)’=-0{,}5<0$$
Функция убывает на всём отрезке, значит:
$$y(-2)=-0{,}5\cdot(-2)+4=5$$
$$y(6)=-0{,}5\cdot6+4=1$$
Ответ: $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=5$$
г) $$y=\frac{3}{x},\quad x\in[0{,}3;2]$$
На данном отрезке $$x\neq 0$$, значит, функция определена и непрерывна. Найдём производную:
$$y'(x)=\left(\frac{3}{x}\right)’=-\frac{3}{x^2}<0$$
Функция убывает на всём отрезке, поэтому:
$$y(0{,}3)=\frac{3}{0{,}3}=10$$
$$y(2)=\frac{3}{2}=1{,}5$$
Ответ: $$y_{\min}=1{,}5,\quad y_{\max}=10$$
