Упр.31.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим каждую функцию отдельно. Для построения графика удобно выделить область определения, асимптоты и несколько опорных точек.
а) $$y=\frac{x+2}{x-3}$$
Область определения:
$$x-3\ne 0,\quad x\ne 3,$$
$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
Асимптоты:
$$x=3,$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x+2}{x-3}=1,\quad \text{значит } y=1.$$
Производная:
$$y’=\frac{(x+2)'(x-3)-(x+2)(x-3)’}{(x-3)^2}=\frac{(x-3)-(x+2)}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2}<0.$$
Следовательно, функция убывает на всей области определения.
Опорные точки:
$$x=-2,\ 2,\ 4,\ 8;\quad y=0,\ -4,\ 6,\ 2.$$
б) $$y=\frac{3x-4}{x-2}$$
Область определения:
$$x-2\ne 0,\quad x\ne 2,$$
$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
Асимптоты:
$$x=2,$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x-4}{x-2}=3,\quad \text{значит } y=3.$$
Производная:
$$y’=\frac{3(x-2)-(3x-4)}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}<0.$$
Следовательно, функция убывает на всей области определения.
Опорные точки:
$$x=0,\ 1,\ 3,\ 4;\quad y=2,\ 1,\ 5,\ 4.$$
в) $$y=\frac{x-3}{x+1}$$
Область определения:
$$x+1\ne 0,\quad x\ne -1,$$
$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Асимптоты:
$$x=-1,$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x+1}=1,\quad \text{значит } y=1.$$
Производная:
$$y’=\frac{(x-3)'(x+1)-(x-3)(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)-(x-3)}{(x+1)^2}=\frac{4}{(x+1)^2}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
Опорные точки:
$$x=-5,\ -2,\ 0,\ 3;\quad y=2,\ 5,\ -3,\ 0.$$
г) $$y=\frac{2x+1}{x+2}$$
Область определения:
$$x+2\ne 0,\quad x\ne -2,$$
$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Асимптоты:
$$x=-2,$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x+2}=2,\quad \text{значит } y=2.$$
Производная:
$$y’=\frac{(2x+1)'(x+2)-(2x+1)(x+2)’}{(x+2)^2}=\frac{2(x+2)-(2x+1)}{(x+2)^2}=\frac{3}{(x+2)^2}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
Опорные точки:
$$x=-5,\ -3,\ -1,\ 1;\quad y=3,\ 5,\ -1,\ 1.$$
Ответ: графики всех четырёх функций — гиперболы с указанными асимптотами и опорными точками; в пунктах а) и б) функции убывают, в пунктах в) и г) — возрастают.
