Упр.31.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=(x-1)^2(x+2)$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’ = 2(x-1)(x+2) + (x-1)^2 = (x-1)\bigl(2(x+2)+(x-1)\bigr) = (x-1)(3x+3) = 3(x-1)(x+1).$$
$$y’=0 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=1.$$
Знаки производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;1) & 1 & (1;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает при $$x\in[-1;1].$$
Точки экстремума:
$$y(-1)=(-2)^2\cdot 1=4,\qquad y(1)=0.$$
Значит, точка локального максимума: $$(-1;4),$$ точка локального минимума: $$(1;0).$$
Для построения графика возьмём несколько точек:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 2 & 4 \end{array}$$
б) $$y=\dfrac{256}{9}x(x-1)^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\dfrac{256}{9}\Bigl((x-1)^3+3x(x-1)^2\Bigr) =\dfrac{256}{9}(x-1)^2(4x-1).$$
$$y’=0 \text{ при } x=\dfrac14 \text{ и } x=1.$$
Так как $$\dfrac{256}{9}(x-1)^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$4x-1.$$
Значит, функция убывает при $$x\in(-\infty;\tfrac14],$$ возрастает при $$x\in[\tfrac14;+\infty).$$
Точка минимума:
$$y\!\left(\dfrac14\right)=\dfrac{256}{9}\cdot\dfrac14\cdot\left(-\dfrac34\right)^3 =-3.$$
Следовательно, точка локального минимума: $$\left(\dfrac14;-3\right).$$
Для построения графика возьмём точки:
$$\begin{array}{c|cccc} x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & \dfrac{2048}{9} & 0 & 0 & \dfrac{512}{9} \end{array}$$
в) $$y=(x+2)^2(x-3)$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=2(x+2)(x-3)+(x+2)^2 =(x+2)\bigl(2(x-3)+(x+2)\bigr) =(x+2)(3x-4).$$
$$y’=0 \text{ при } x=-2 \text{ и } x=\dfrac43.$$
Знаки производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-2) & -2 & (-2;\tfrac43) & \tfrac43 & (\tfrac43;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\in(-\infty;-2]\cup[\tfrac43;+\infty),$$ убывает при $$x\in[-2;\tfrac43].$$
Точки экстремума:
$$y(-2)=0,\qquad y\!\left(\dfrac43\right)=\left(\dfrac{10}{3}\right)^2\left(-\dfrac53\right)=-\dfrac{500}{27}=-18\dfrac{14}{27}.$$
Значит, точка локального максимума: $$(-2;0),$$ точка локального минимума: $$\left(\dfrac43;-18\dfrac{14}{27}\right).$$
Для построения графика можно отметить точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -3 & 0 & 3 \\ \hline y & -6 & -12 & 0 \end{array}$$
г) $$y=x^3(2-x)$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2(2-x)-x^3=6x^2-4x^3=2x^2(3-2x).$$
$$y’=0 \text{ при } x=0 \text{ и } x=\dfrac32.$$
Так как $$2x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$3-2x.$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\in(-\infty;\tfrac32],$$ убывает при $$x\in[\tfrac32;+\infty).$$
Точка локального максимума:
$$y\!\left(\dfrac32\right)=\left(\dfrac32\right)^3\left(2-\dfrac32\right) =\dfrac{27}{8}\cdot\dfrac12 =\dfrac{27}{16}=1\dfrac{11}{16}.$$
Значит, точка локального максимума: $$\left(\dfrac32;1\dfrac{11}{16}\right).$$
Точка $$x=0$$ — стационарная, но не экстремум.
Для построения графика возьмём точки:
$$\begin{array}{c|cccc} x & -2 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -32 & 0 & 0 & -27 \end{array}$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1],$$ максимум $$(-1;4),$$ минимум $$(1;0).$$
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;\tfrac14],$$ возрастает на $$[\tfrac14;+\infty),$$ минимум $$\left(\tfrac14;-3\right).$$
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[\tfrac43;+\infty),$$ убывает на $$[-2;\tfrac43],$$ максимум $$(-2;0),$$ минимум $$\left(\tfrac43;-18\dfrac{14}{27}\right).$$
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;\tfrac32],$$ убывает на $$[\tfrac32;+\infty),$$ максимум $$\left(\tfrac32;1\dfrac{11}{16}\right).$$
