Упр.31.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте график функции: а) $$y=-x^4+5x^2-4$$; б) $$y=x^5-5x$$; в) $$y=2x^4-9x^2+7$$; г) $$y=5x^3-3x^5$$.

а) $$y=-x^4+5x^2-4$$

Функция определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и является чётной, так как

$$y(-x)=-(-x)^4+5(-x)^2-4=-x^4+5x^2-4=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=-4x^3+10x=-2x(2x^2-5).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=0,\; x=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}.$$

Знаки производной дают:

$$y’>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)\cup\left(0;\frac{\sqrt{10}}{2}\right),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\sqrt{10}}{2};0\right)\cup\left(\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right).$$

Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{2}\right]\cup\left[0;\frac{\sqrt{10}}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\sqrt{10}}{2};0\right]\cup\left[\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right).$$

Экстремумы:

$$y(0)=-4,$$

$$y\!\left(\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\right)=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^4+5\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2-4=-\frac{25}{4}+\frac{50}{4}-4=\frac{9}{4}.$$

Точки: $$\left(0;-4\right)$$ — минимум, $$\left(\pm \frac{\sqrt{10}}{2};\frac{9}{4}\right)$$ — максимумы.

Для построения удобно отметить точки $$\left(0;-4\right)$$, $$\left(\pm 1;0\right)$$, $$\left(\pm 2;0\right)$$.

б) $$y=x^5-5x$$

Функция определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и нечётная, так как

$$y(-x)=(-x)^5-5(-x)=-x^5+5x=-y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=5x^4-5=5(x^2-1)(x^2+1).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=\pm 1.$$

Знаки производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in(-1;1).$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-1;1].$$

Экстремумы:

$$y(-1)=(-1)^5-5(-1)=4,$$

$$y(1)=1-5=-4.$$

Точки: $$(-1;4)$$ — максимум, $$\left(1;-4\right)$$ — минимум.

Для построения удобно отметить точки $$\left(0;0\right)$$, $$\left(2;22\right)$$.

в) $$y=2x^4-9x^2+7$$

Функция определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и чётная, так как

$$y(-x)=2(-x)^4-9(-x)^2+7=2x^4-9x^2+7=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=8x^3-18x=2x(4x^2-9)=2x(2x-3)(2x+3).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=0,\; x=\pm \frac{3}{2}.$$

Знаки производной:

$$y'<0 \text{ при } x\in\left(-\infty;-\frac{3}{2}\right)\cup\left(0;\frac{3}{2}\right),$$

$$y’>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{3}{2};0\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right).$$

Следовательно, функция убывает на $$\left(-\infty;-\frac{3}{2}\right]\cup\left[0;\frac{3}{2}\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac{3}{2};0\right]\cup\left[\frac{3}{2};+\infty\right).$$

Экстремумы:

$$y(0)=7,$$

$$y\!\left(\pm \frac{3}{2}\right)=2\left(\frac{3}{2}\right)^4-9\left(\frac{3}{2}\right)^2+7=\frac{81}{8}-\frac{81}{4}+7=-\frac{25}{8}.$$

Точки: $$\left(0;7\right)$$ — максимум, $$\left(\pm \frac{3}{2};-\frac{25}{8}\right)$$ — минимумы.

Для построения удобно отметить точки $$\left(1;0\right)$$, $$\left(2;3\right)$$, $$\left(3;88\right)$$.

г) $$y=5x^3-3x^5$$

Функция определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и нечётная, так как

$$y(-x)=5(-x)^3-3(-x)^5=-5x^3+3x^5=-y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=-1,\; x=0,\; x=1.$$

Так как $$15x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$1-x^2$$:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-1;1), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ и возрастает на $$[-1;1].$$

Экстремумы:

$$y(-1)=5(-1)^3-3(-1)^5=-5+3=-2,$$

$$y(1)=5-3=2.$$

Точки: $$(-1;-2)$$ — минимум, $$\left(1;2\right)$$ — максимум.

Для построения удобно отметить точки $$\left(0;0\right)$$, $$\left(2;-56\right)$$.

Ответ

Графики строятся по найденным точкам, промежуткам возрастания и убывания, а также по экстремумам:

• а) чётная функция, максимум в точках $$\left(\pm \frac{\sqrt{10}}{2};\frac{9}{4}\right)$$, минимум в точке $$\left(0;-4\right)$$;
• б) нечётная функция, максимум в точке $$(-1;4)$$, минимум в точке $$\left(1;-4\right)$$;
• в) чётная функция, максимум в точке $$\left(0;7\right)$$, минимумы в точках $$\left(\pm \frac{3}{2};-\frac{25}{8}\right)$$;
• г) нечётная функция, минимум в точке $$(-1;-2)$$, максимум в точке $$\left(1;2\right)$$.