Упр.31.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$y=2x^3+x^2-8x-7$$
- б) $$y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$$
- в) $$y=x^3+x^2-x-1$$
- г) $$y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac{5}{3}$$
а) $$y=2x^3+x^2-8x-7$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=2(-x)^3+(-x)^2-8(-x)-7=-2x^3+x^2+8x-7.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=6x^2+2x-8=2(3x^2+x-4)=2(3x-4)(x+1).$$
Критические точки:
$$y'(x)=0 \iff x=-1,\; x=\frac{4}{3}.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;\frac{4}{3}) & \frac{4}{3} & (\frac{4}{3};+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \\ \end{array}$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[\frac{4}{3};+\infty)$$ и убывает на $$[-1;\frac{4}{3}]$$.
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-1)=2(-1)^3+(-1)^2-8(-1)-7=2,$$
$$y\!\left(\frac{4}{3}\right)=2\left(\frac{4}{3}\right)^3+\left(\frac{4}{3}\right)^2-8\left(\frac{4}{3}\right)-7=-\frac{257}{27}.$$
Следовательно, точка локального максимума: $$(-1;2),$$ точка локального минимума: $$\left(\frac{4}{3};-\frac{257}{27}\right).$$
Для построения графика можно взять точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -1 & 0 & 2 \\ \hline y & 2 & -7 & 1 \end{array}$$
б) $$y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-\frac{11}{3}$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=-\frac{(-x)^3}{3}+(-x)^2+3(-x)-\frac{11}{3}=\frac{x^3}{3}+x^2-3x-\frac{11}{3}.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3).$$
Критические точки:
$$y'(x)=0 \iff x=-1,\; x=3.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;3) & 3 & (3;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \\ \end{array}$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$ и возрастает на $$[-1;3]$$.
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-1)=-\frac{(-1)^3}{3}+(-1)^2+3(-1)-\frac{11}{3}=-\frac{16}{3},$$
$$y(3)=-\frac{27}{3}+9+9-\frac{11}{3}=\frac{16}{3}.$$
Следовательно, точка локального минимума: $$(-1;-\frac{16}{3}),$$ точка локального максимума: $$(3;\frac{16}{3}).$$
Для построения графика можно взять точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -3 & 1 & 5 \\ \hline y & 5 & 0 & -5 \end{array}$$
в) $$y=x^3+x^2-x-1$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=(-x)^3+(-x)^2-(-x)-1=-x^3+x^2+x-1.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$y'(x)=0 \iff x=-1,\; x=\frac{1}{3}.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;\frac{1}{3}) & \frac{1}{3} & (\frac{1}{3};+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \\ \end{array}$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[\frac{1}{3};+\infty)$$ и убывает на $$[-1;\frac{1}{3}]$$.
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-1)=(-1)^3+(-1)^2-(-1)-1=0,$$
$$y\!\left(\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^3+\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}-1=-\frac{32}{27}.$$
Следовательно, точка локального максимума: $$(-1;0),$$ точка локального минимума: $$\left(\frac{1}{3};-\frac{32}{27}\right).$$
г) $$y=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+\frac{5}{3}$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=\frac{(-x)^3}{3}+(-x)^2-3(-x)+\frac{5}{3}=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x+\frac{5}{3}.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$
Критические точки:
$$y'(x)=0 \iff x=-3,\; x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-3) & -3 & (-3;1) & 1 & (1;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \\ \end{array}$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-3;1]$$.
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-3)=\frac{(-3)^3}{3}+(-3)^2-3(-3)+\frac{5}{3}=\frac{32}{3},$$
$$y(1)=\frac{1}{3}+1-3+\frac{5}{3}=0.$$
Следовательно, точка локального максимума: $$(-3;\frac{32}{3}),$$ точка локального минимума: $$(1;0).$$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[\frac{4}{3};+\infty)$$, убывает на $$[-1;\frac{4}{3}]$$; максимум $$(-1;2)$$, минимум $$\left(\frac{4}{3};-\frac{257}{27}\right)$$.
б) возрастает на $$[-1;3]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$; минимум $$(-1;-\frac{16}{3})$$, максимум $$(3;\frac{16}{3})$$.
в) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[\frac{1}{3};+\infty)$$, убывает на $$[-1;\frac{1}{3}]$$; максимум $$(-1;0)$$, минимум $$\left(\frac{1}{3};-\frac{32}{27}\right)$$.
г) возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-3;1]$$; максимум $$(-3;\frac{32}{3})$$, минимум $$(1;0)$$.
