Упр.31.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=x^3-3x^2+2$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=(-x)^3-3(-x)^2+2=-x^3-3x^2+2,$$
и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;0) & 0 & (0;2) & 2 & (2;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0] \cup [2;+\infty),$$ убывает на $$[0;2].$$
В точке $$x=0$$ — локальный максимум: $$y(0)=2.$$
В точке $$x=2$$ — локальный минимум: $$y(2)=8-12+2=-2.$$
Для построения графика отметим несколько точек:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & -2 & 0 & 2 \end{array}$$
График — кубическая кривая с максимумом в точке $$(0;2)$$ и минимумом в точке $$(2;-2).$$
б) $$y=-x^3+3x-2$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=-(-x)^3+3(-x)-2=x^3-3x-2,$$
и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-3x^2+3=-3(x^2-1)=-3(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;1) & 1 & (1;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1] \cup [1;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;1].$$
В точке $$x=-1$$ — локальный минимум: $$y(-1)=1-3-2=-4.$$
В точке $$x=1$$ — локальный максимум: $$y(1)=-1+3-2=0.$$
Для построения графика отметим несколько точек:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & -2 & -4 \end{array}$$
График — кубическая кривая с минимумом в точке $$(-1;-4)$$ и максимумом в точке $$(1;0).$$
в) $$y=-x^3+6x^2-5$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=-(-x)^3+6(-x)^2-5=x^3+6x^2-5,$$
и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-3x^2+12x=3x(4-x).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=4.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;0) & 0 & (0;4) & 4 & (4;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0] \cup [4;+\infty),$$ возрастает на $$[0;4].$$
В точке $$x=0$$ — локальный минимум: $$y(0)=-5.$$
В точке $$x=4$$ — локальный максимум: $$y(4)=-64+96-5=27.$$
Для построения графика отметим несколько точек:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & 2 & 4 \\ \hline y & 27 & 11 & -5 \end{array}$$
График — кубическая кривая с минимумом в точке $$(0;-5)$$ и максимумом в точке $$(4;27).$$
г) $$y=x^3-3x+2$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=(-x)^3-3(-x)+2=-x^3+3x+2,$$
и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;1) & 1 & (1;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1] \cup [1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1].$$
В точке $$x=-1$$ — локальный максимум: $$y(-1)=-1+3+2=4.$$
В точке $$x=1$$ — локальный минимум: $$y(1)=1-3+2=0.$$
Для построения графика отметим несколько точек:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 2 & 4 \end{array}$$
График — кубическая кривая с максимумом в точке $$(-1;4)$$ и минимумом в точке $$(1;0).$$
