Упр.31.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Исследуем каждую функцию по схеме: область определения, чётность, производная, промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
а) $$y=3x^2-x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=3(-x)^2-(-x)^3=3x^2+x^3,$$
и это не равно ни $$y(x)$$, ни $$-y(x)$$.
Найдём производную:
$$y’=(3x^2-x^3)’=6x-3x^2=3x(2-x).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.
Знак производной:
| $$x$$ | $$(-\infty;0)$$ | $$0$$ | $$(0;2)$$ | $$2$$ | $$(2;+\infty)$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$y’$$ | $$+$$ | $$0$$ | $$+$$ | $$0$$ | $$-$$ |
| $$y$$ | возрастает | возрастает | убывает |
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$.
В точке $$x=2$$ достигается максимум:
$$y_{\max}=3\cdot 2^2-2^3=12-8=4.$$
В точке $$x=0$$ экстремума нет, так как знак производной не меняется.
Для построения графика удобно взять точки:
$$x=0,\; y=0;\qquad x=1,\; y=2;\qquad x=3,\; y=0.$$
б) $$y=-9x+x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=-9(-x)+(-x)^3=9x-x^3=-y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=(-9x+x^3)’=-9+3x^2=3(x^2-3)=3(x-\sqrt3)(x+\sqrt3).$$
Критические точки: $$x=\pm\sqrt3$$.
Знак производной:
| $$x$$ | $$(-\infty;-\sqrt3)$$ | $$-\sqrt3$$ | $$(-\sqrt3;\sqrt3)$$ | $$\sqrt3$$ | $$(\sqrt3;+\infty)$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$y’$$ | $$+$$ | $$0$$ | $$-$$ | $$0$$ | $$+$$ |
| $$y$$ | возрастает | убывает | возрастает |
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt3] \cup [\sqrt3;+\infty)$$ и убывает на $$[-\sqrt3;\sqrt3]$$.
Точка максимума:
$$x=-\sqrt3,\qquad y_{\max}=-9(-\sqrt3)+(-\sqrt3)^3=6\sqrt3.$$
Точка минимума:
$$x=\sqrt3,\qquad y_{\min}=-9\sqrt3+(\sqrt3)^3=-6\sqrt3.$$
Для построения графика можно отметить точки:
$$x=0,\; y=0;\qquad x=1,\; y=-8;\qquad x=3,\; y=0.$$
в) $$y=x^3+3x^2$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$y(-x)=(-x)^3+3(-x)^2=-x^3+3x^2.$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3+3x^2)’=3x^2+6x=3x(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
Знак производной:
| $$x$$ | $$(-\infty;-2)$$ | $$-2$$ | $$(-2;0)$$ | $$0$$ | $$(0;+\infty)$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$y’$$ | $$+$$ | $$0$$ | $$-$$ | $$0$$ | $$+$$ |
| $$y$$ | возрастает | убывает | возрастает |
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2] \cup [0;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0]$$.
Точка максимума:
$$x=-2,\qquad y_{\max}=(-2)^3+3\cdot(-2)^2=-8+12=4.$$
Точка минимума:
$$x=0,\qquad y_{\min}=0.$$
Для построения графика можно взять точки:
$$x=-3,\; y=0;\qquad x=0,\; y=0;\qquad x=1,\; y=4.$$
г) $$y=3x-x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=3(-x)-(-x)^3=-3x+x^3=-y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=(3x-x^3)’=3-3x^2=-3(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=\pm1$$.
Знак производной:
| $$x$$ | $$(-\infty;-1)$$ | $$-1$$ | $$(-1;1)$$ | $$1$$ | $$(1;+\infty)$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$y’$$ | $$-$$ | $$0$$ | $$+$$ | $$0$$ | $$-$$ |
| $$y$$ | убывает | возрастает | убывает |
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1] \cup [1;+\infty)$$ и возрастает на $$[-1;1]$$.
Точка минимума:
$$x=-1,\qquad y_{\min}=3(-1)-(-1)^3=-3+1=-2.$$
Точка максимума:
$$x=1,\qquad y_{\max}=3\cdot1-1^3=2.$$
Для построения графика можно отметить точки:
$$x=0,\; y=0;\qquad x=2,\; y=-2;\qquad x=3,\; y=-18.$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$, максимум в точке $$\left(2;4\right)$$.
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt3] \cup [\sqrt3;+\infty)$$, убывает на $$[-\sqrt3;\sqrt3]$$, максимум $$6\sqrt3$$, минимум $$-6\sqrt3$$.
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает на $$(-\infty;-2] \cup [0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$, максимум в точке $$(-2;4)$$, минимум в точке $$\left(0;0\right)$$.
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция убывает на $$(-\infty;-1] \cup [1;+\infty)$$, возрастает на $$[-1;1]$$, минимум в точке $$(-1;-2)$$, максимум в точке $$\left(1;2\right)$$.
