Упр.31.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию и постройте её график:
   а) $$y=3x^2-4x+5$$;
   б) $$y=3+2x-x^2$$;
   в) $$y=7-x-2x^2$$;
   г) $$y=5x^2-15x-4$$.

а) $$y=3x^2-4x+5$$

Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

$$y(-x)=3(-x)^2-4(-x)+5=3x^2+4x+5,$$

и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=(3x^2-4x+5)’=6x-4.$$

Критическая точка:

$$6x-4=0,\quad x=\frac23.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена вверх, значит в точке $$x=\frac23$$ достигается минимум:

$$y_{\min}=3\left(\frac23\right)^2-4\cdot\frac23+5=\frac{8}{3}.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\frac23]$$ и возрастает на $$[\frac23;+\infty).$$

Для построения графика возьмём несколько точек:

График — парабола с вершиной $$\left(\frac23;\frac83\right).$$

б) $$y=3+2x-x^2$$

Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

$$y(-x)=3-2x-x^2,$$

и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=(3+2x-x^2)’=2-2x.$$

Критическая точка:

$$2-2x=0,\quad x=1.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, парабола направлена вниз, значит в точке $$x=1$$ достигается максимум:

$$y_{\max}=3+2\cdot1-1^2=4.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$

Для построения графика возьмём несколько точек:

График — парабола с вершиной $$\left(1;4\right).$$

в) $$y=7-x-2x^2$$

Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

$$y(-x)=7+x-2x^2,$$

и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=(7-x-2x^2)’=-1-4x.$$

Критическая точка:

$$-1-4x=0,\quad x=-\frac14.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, парабола направлена вниз, значит в точке $$x=-\frac14$$ достигается максимум:

$$y_{\max}=7-\left(-\frac14\right)-2\left(-\frac14\right)^2=7+\frac14-\frac18=\frac{57}{8}.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac14]$$ и убывает на $$[-\frac14;+\infty).$$

Для построения графика возьмём несколько точек:

График — парабола с вершиной $$\left(-\frac14;\frac{57}{8}\right).$$

г) $$y=5x^2-15x-4$$

Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

$$y(-x)=5(-x)^2-15(-x)-4=5x^2+15x-4,$$

и это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=(5x^2-15x-4)’=10x-15.$$

Критическая точка:

$$10x-15=0,\quad x=\frac32.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена вверх, значит в точке $$x=\frac32$$ достигается минимум:

$$y_{\min}=5\left(\frac32\right)^2-15\cdot\frac32-4=\frac{45}{4}-\frac{45}{2}-4=-\frac{61}{4}.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\frac32]$$ и возрастает на $$[\frac32;+\infty).$$

Для построения графика возьмём несколько точек:

График — парабола с вершиной $$\left(\frac32;-\frac{61}{4}\right).$$