Упр.31.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите графически уравнение: а) $$3\sqrt{x+1}=-x^3+3x^2+6$$; б) $$x^3-3x=(x+1)^6+2$$.

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=3\sqrt{x+1}, \qquad g(x)=-x^3+3x^2+6.$$

Область определения первой функции: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

Так как

$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x+1}}>0,$$

то функция $$f(x)$$ возрастает на всей области определения.

Для функции $$g(x)$$ имеем

$$g'(x)=-3x^2+6x=3x(2-x).$$

Следовательно, $$g(x)$$ возрастает при $$0\le x\le 2.$$

Графики функций пересекаются в точке $$\left(3,6\right),$$ значит, решение уравнения:

$$x=3.$$

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=x^3-3x, \qquad g(x)=(x+1)^6+2.$$

Для первой функции

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Значит, $$f(x)$$ возрастает при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1.$$

Для второй функции

$$g'(x)=6(x+1)^5,$$

поэтому $$g(x)$$ возрастает при $$x\ge -1.$$

Графики пересекаются в точке $$\left(-1,2\right),$$ следовательно,

$$x=-1.$$

Ответ: а) $$x=3$$; б) $$x=-1$$.