Упр.31.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$3\cos\frac{\pi x}{2}+5\sin\frac{\pi x}{2}+18x=43-x^5-22x^3$$; б) $$\sin\frac{\pi}{2}x-2\cos\pi x-8x=x^5-50$$.

Рассмотрим каждое уравнение как равенство двух функций и исследуем их на монотонность.

а)

Пусть

$$f(x)=3\cos\frac{\pi x}{2}+5\sin\frac{\pi x}{2}+18x,$$

$$g(x)=46-x^5-22x^3.$$

Тогда

$$f'(x)=3\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)+5\cdot\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi x}{2}+18$$

$$f'(x)=\frac{\pi}{2}\left(5\cos\frac{\pi x}{2}-3\sin\frac{\pi x}{2}\right)+18.$$

Так как $$-1\le \sin\frac{\pi x}{2}\le 1$$ и $$-1\le \cos\frac{\pi x}{2}\le 1,$$ то

$$5\cos\frac{\pi x}{2}-3\sin\frac{\pi x}{2}\ge -5-3=-8,$$

значит

$$f'(x)\ge 18-4\pi>0.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает.

Найдём производную второй функции:

$$g'(x)=-5x^4-66x^2\le 0.$$

Значит, функция $$g(x)$$ убывает.

Проверим значение при $$x=1$$:

$$f(1)=3\cos\frac{\pi}{2}+5\sin\frac{\pi}{2}+18=0+5+18=23,$$

$$g(1)=46-1-22=23.$$

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, то равенство может выполняться только при $$x=1$$.

б)

Пусть

$$f(x)=\sin\frac{\pi x}{2}-2\cos(\pi x)-8x,$$

$$g(x)=x^5-50.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi x}{2}+2\pi\sin(\pi x)-8.$$

Оценим производную:

$$\cos\frac{\pi x}{2}\le 1,\qquad \sin(\pi x)\le 1,$$

поэтому

$$f'(x)\le \frac{\pi}{2}+2\pi-8=\frac{5\pi}{2}-8<0.$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ убывает.

Для второй функции

$$g'(x)=5x^4\ge 0,$$

то есть $$g(x)$$ возрастает.

Проверим значение при $$x=2$$:

$$f(2)=\sin\pi-2\cos 2\pi-16=0-2\cdot 1-16=-18,$$

$$g(2)=2^5-50=32-50=-18.$$

Так как одна функция убывает, а другая возрастает, то решение единственно:

Ответ: а) $$1$$; б) $$2$$.