Упр.31.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение с помощью исследования функций на монотонность: а) $$x^3+5=15-x$$; б) $$x^5+3x^3+7x-11=0$$; в) $$2x^5+3x^3=17-12x$$; г) $$x^5+4x^3+8x-13=0$$.
а) Перепишем уравнение в виде $$x^3+5=15-x.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=x^3+5$$ и $$g(x)=15-x.$$
Их производные:
$$f'(x)=3x^2\ge 0,$$ $$g'(x)=-1<0.$$
Значит, $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, поэтому уравнение может иметь не более одного корня. Проверим число $$x=2$$:
$$2^3+5=8+5=13,$$ $$15-2=13.$$
Следовательно, $$x=2$$.
б) Перепишем уравнение в виде $$x^5+3x^3+7x=11.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=x^5+3x^3+7x$$ и $$g(x)=11.$$
Тогда
$$f'(x)=5x^4+9x^2+7>0,$$
то есть $$f(x)$$ строго возрастает. Постоянная функция $$g(x)=11$$ тоже монотонна, значит корень может быть не более одного. Проверим $$x=1$$:
$$1^5+3\cdot 1^3+7\cdot 1=1+3+7=11.$$
Следовательно, $$x=1$$.
в) Перепишем уравнение в виде $$2x^5+3x^3+12x=17.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=2x^5+3x^3+12x$$ и $$g(x)=17.$$
Имеем
$$f'(x)=10x^4+9x^2+12>0,$$
значит, $$f(x)$$ строго возрастает. Тогда корень уравнения единственный. Проверим $$x=1$$:
$$2\cdot 1^5+3\cdot 1^3+12\cdot 1=2+3+12=17.$$
Следовательно, $$x=1$$.
г) Перепишем уравнение в виде $$x^5+4x^3+8x=13.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=x^5+4x^3+8x$$ и $$g(x)=13.$$
Тогда
$$f'(x)=5x^4+12x^2+8>0,$$
то есть $$f(x)$$ строго возрастает. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Проверим $$x=1$$:
$$1^5+4\cdot 1^3+8\cdot 1=1+4+8=13.$$
Следовательно, $$x=1$$.
Ответ
а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.
