Упр.31.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$: а) уравнение $$x^3-3x=a$$ имеет один корень; б) уравнение $$3x-x^3=a$$ имеет два корня?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x.$$

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1.$$

Вычислим значения функции в этих точках:

$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2,$$

$$f(1)=1^3-3\cdot 1=-2.$$

Значит, у функции есть локальный максимум $$2$$ и локальный минимум $$-2.$$

Горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график функции:

• в одной точке, если $$a<-2$$ или $$a>2$$;
• в двух точках, если $$a=-2$$ или $$a=2.$$

Для уравнения $$x^3-3x=a$$ один корень будет тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ пересекает график один раз, то есть при

$$a\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$

Для уравнения $$3x-x^3=a$$ рассмотрим функцию $$g(x)=3x-x^3.$$ Она отличается знаком от предыдущей, поэтому её экстремумы равны $$2$$ и $$-2$$, а два корня уравнение имеет при

$$a=-2 \text{ или } a=2.$$

Ответ: а) $$a\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty);$$ б) $$a=\pm 2.$$