Упр.31.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Постройте график функции $$y=-x^4+2x^2+8$$.

б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$-x^4+2x^2+8=a$$ не имеет корней?

Подробный ответ

Функция $$y=-x^4+2x^2+8$$ определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и является чётной, так как

$$y(-x)=-(-x)^4+2(-x)^2+8=-x^4+2x^2+8=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=-4x^3+4x=-4x(x^2-1)=-4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;0) & 0 & (0;1) & 1 & (1;+\infty)\\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$

Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$, убывает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty).$$

Вычислим значения в точках экстремума:

$$y(0)=8,\qquad y(\pm1)=-1+2+8=9.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$9$$, а множество значений:

$$y\in(-\infty;9].$$

График функции симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точки $$(-2;0)$$ и $$(2;0)$$, имеет локальный минимум в точке $$(0;8)$$ и локальные максимумы в точках $$(-1;9)$$ и $$(1;9).$$

Для уравнения

$$-x^4+2x^2+8=a$$

корни существуют тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ пересекает график функции. Так как наибольшее значение функции равно $$9$$, то пересечения нет при

$$a>9.$$