Упр.31.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Постройте график функции $$y=x^4-2x^2+3$$. б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^4-2x^2+3=a$$ имеет три корня?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=x^4-2x^2+3.$$

а) Построение графика

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+3=x^4-2x^2+3=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$x$$	$$(-\infty;-1)$$	$$-1$$	$$(-1;0)$$	$$0$$	$$(0;1)$$	$$1$$	$$(1;+\infty)$$
$$y’$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$
$$y$$	убывает	min	возрастает	max	убывает	min	возрастает

Значения функции в точках экстремума:

$$y(-1)=1-2+3=2,$$

$$y(0)=3,$$

$$y(1)=1-2+3=2.$$

Следовательно, график симметричен относительно оси $$Oy$$, имеет локальный максимум в точке $$(0;3)$$ и локальные минимумы в точках $$(-1;2)$$ и $$(1;2)$$. При $$x\to\pm\infty$$ значение $$y\to+\infty$$.

Для построения удобно отметить точки $$(-1;2),\ (0;3),\ (1;2)$$ и провести через них плавную симметричную кривую.

б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение имеет три корня

Рассмотрим пересечение графика функции $$y=x^4-2x^2+3$$ с горизонтальной прямой $$y=a$$.

Три точки пересечения будут только тогда, когда прямая проходит через точку локального максимума и не касается графика в точках минимумов. Это происходит при

$$a=3.$$

Проверим:

$$x^4-2x^2+3=3$$

$$x^4-2x^2=0$$

$$x^2(x^2-2)=0.$$

Отсюда

$$x=0,\quad x=\pm\sqrt{2}.$$

Получаем три различных корня.