Упр.31.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Для построения графика найдём область определения, асимптоты, промежутки монотонности и точку экстремума.
а) $$y=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$
Область определения:
$$x^2-4\ne 0,\quad x^2\ne 4,\quad x\ne \pm 2.$$
Значит,
$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=\frac{(-x)^2+4}{(-x)^2-4}=\frac{x^2+4}{x^2-4}=y(x).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-2$$ и $$x=2.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-4}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}=1,$$
то есть $$y=1.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x^2+4)'(x^2-4)-(x^2+4)(x^2-4)’}{(x^2-4)^2} =\frac{2x(x^2-4)-2x(x^2+4)}{(x^2-4)^2} =\frac{-16x}{(x^2-4)^2}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne \pm 2,$$ знак производной определяется числителем $$-16x.$$
Следовательно, функция возрастает при $$x<0$$ и убывает при $$x>0$$ на каждом промежутке области определения.
В точке $$x=0$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-$$, значит, это точка максимума:
$$y(0)=\frac{0^2+4}{0^2-4}=-1.$$
Итак, максимум равен $$-1$$, точка максимума $$\,(0;-1).$$
б) $$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$
Область определения:
$$x^2-1\ne 0,\quad x^2\ne 1,\quad x\ne \pm 1.$$
Значит,
$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}=y(x).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=1.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1,$$
то есть $$y=1.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2}.$$
Знаменатель положителен при $$x\ne \pm 1,$$ поэтому знак производной определяется числителем $$-4x.$$
Следовательно, функция возрастает при $$x<0$$ и убывает при $$x>0$$ на каждом промежутке области определения.
В точке $$x=0$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-$$, значит, это точка максимума:
$$y(0)=\frac{0^2+1}{0^2-1}=-1.$$
Итак, максимум равен $$-1$$, точка максимума $$\,(0;-1).$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty),\quad x=\pm 2,\quad y=1,\quad (0;-1).$$
б) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty),\quad x=\pm 1,\quad y=1,\quad (0;-1).$$
