Упр.31.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Постройте график функции:
а) $$y=\frac{2x+1}{x^2+2}$$; б) $$y=\frac{x-2}{x^2+5}$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{2x+1}{x^2+2}.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ так как $$x^2+2>0$$ при любом $$x.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(2x+1)'(x^2+2)-(2x+1)(x^2+2)’}{(x^2+2)^2} =\frac{2(x^2+2)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^2+2)^2} =\frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2}.$$
Исследуем знак числителя:
$$-2x^2-2x+4\ge 0 \iff x^2+x-2\le 0 \iff (x+2)(x-1)\le 0.$$
Отсюда $$-2\le x\le 1.$$ Значит, функция возрастает на $$[-2;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[1;+\infty).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-2)=\frac{2\cdot(-2)+1}{(-2)^2+2}=\frac{-3}{6}=-\frac12, \qquad y(1)=\frac{2\cdot1+1}{1^2+2}=\frac{3}{3}=1.$$
Следовательно, минимум функции: $$\left(-2;-\frac12\right),$$ максимум функции: $$\left(1;1\right).$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+1}{x^2+2}=0,$$
то есть $$y=0.$$
Для построения отметим ещё точки:
$$y(0)=\frac12,\qquad y(4)=\frac{9}{18}=\frac12.$$
Итак, график проходит через точки $$\left(0;\frac12\right)$$ и $$\left(4;\frac12\right),$$ имеет минимум в точке $$\left(-2;-\frac12\right),$$ максимум в точке $$\left(1;1\right)$$ и стремится к прямой $$y=0.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x-2}{x^2+5}.$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ так как $$x^2+5>0$$ при любом $$x.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x-2)'(x^2+5)-(x-2)(x^2+5)’}{(x^2+5)^2} =\frac{x^2+5-2x(x-2)}{(x^2+5)^2} =\frac{-x^2+4x+5}{(x^2+5)^2}.$$
Решим неравенство для числителя:
$$-x^2+4x+5\ge 0 \iff x^2-4x-5\le 0 \iff (x+1)(x-5)\le 0.$$
Отсюда $$-1\le x\le 5.$$ Значит, функция возрастает на $$[-1;5]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-1)=\frac{-1-2}{(-1)^2+5}=\frac{-3}{6}=-\frac12, \qquad y(5)=\frac{5-2}{5^2+5}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}.$$
Следовательно, минимум функции: $$\left(-1;-\frac12\right),$$ максимум функции: $$\left(5;\frac{1}{10}\right).$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x^2+5}=0,$$
то есть $$y=0.$$
Для построения отметим точки:
$$y(0)=-\frac25,\qquad y(2)=0.$$
Значит, график проходит через точки $$\left(0;-\frac25\right)$$ и $$\left(2;0\right),$$ имеет минимум в точке $$\left(-1;-\frac12\right)$$ и максимум в точке $$\left(5;\frac{1}{10}\right)$$ и стремится к прямой $$y=0.$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ минимум $$\left(-2;-\frac12\right),$$ максимум $$\left(1;1\right),$$ асимптота $$y=0.$$
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ минимум $$\left(-1;-\frac12\right),$$ максимум $$\left(5;\frac{1}{10}\right),$$ асимптота $$y=0.$$
