Упр.31.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Функция $$y=\frac{1}{x^2+1}$$ определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$, так как $$x^2+1>0$$ для любого $$x$$.

Она чётная, потому что

$$y(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{1}{x^2+1}\right)’=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$

Так как знаменатель всегда положителен, знак производной определяется знаком $$-2x$$:

• при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, значит, функция возрастает;
• при $$x>0$$ имеем $$y'<0$$, значит, функция убывает.

Следовательно, в точке $$x=0$$ достигается максимум:

$$y_{\max}=y(0)=\frac{1}{0^2+1}=1.$$

Для построения отметим несколько точек:

$$y(1)=\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad y(2)=\frac{1}{5}=0{,}2.$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$(0;1)$$ и при $$|x|\to\infty$$ стремится к оси $$Ox$$, то есть горизонтальная асимптота: $$y=0$$.

Аналогично для функции $$y=-\frac{2}{x^2+4}$$:

$$D(y)=(-\infty;+\infty),$$

$$y(-x)=-\frac{2}{(-x)^2+4}=-\frac{2}{x^2+4}=y(x),$$

значит, функция чётная.

Производная:

$$y’=\left(-\frac{2}{x^2+4}\right)’=\frac{4x}{(x^2+4)^2}.$$

Знак производной:

• при $$x<0$$ имеем $$y'<0$$, значит, функция убывает;
• при $$x>0$$ имеем $$y’>0$$, значит, функция возрастает.

В точке $$x=0$$ достигается минимум:

$$y_{\min}=y(0)=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Для построения можно взять точки:

$$y(1)=-\frac{2}{5}=-0{,}4,\qquad y(2)=-\frac{2}{8}=-0{,}25.$$

График симметричен относительно оси $$Oy$$ и имеет горизонтальную асимптоту $$y=0$$.

Ответ

$$y=\frac{1}{x^2+1}$$ — чётная функция, возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty)$$, максимум $$1$$ при $$x=0$$.

$$y=-\frac{2}{x^2+4}$$ — чётная функция, убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$, минимум $$-\frac{1}{2}$$ при $$x=0$$.