Упр.31.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:
а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;
б) функция возрастает при $$x \leq 1$$ и при $$x \geq 5$$ и убывает на промежутке $$[1; 5]$$; точка $$x = 1$$ является критической, а точка $$x = 5$$ — стационарной.
Можно привести, например, такие функции.
а)
Подойдёт функция
$$f(x)= \begin{cases} x^2, & -1\le x\le 1,\\ \dfrac{1}{x^2}, & x<-1 \text{ или } x>1. \end{cases}$$
У неё две точки максимума при $$x=-1$$ и $$x=1$$, одна точка минимума при $$x=0$$, и функция ограничена: $$0<f(x)\le 1.$$
б)
Подойдёт функция
$$f(x)= \begin{cases} x+3, & x<1,\\ \dfrac{(x-5)^2}{4}, & x\ge 1. \end{cases}$$
Тогда при $$x<1$$ функция возрастает, в точке $$x=1$$ имеет критическую точку, на промежутке $$[1;5]$$ убывает, а при $$x>5$$ снова возрастает. Точка $$x=5$$ является стационарной, так как $$f'(5)=0.$$
Ответ
а) $$f(x)=\begin{cases}x^2, & -1\le x\le 1,\\ \dfrac{1}{x^2}, & x<-1 \text{ или } x>1.\end{cases}$$
б) $$f(x)=\begin{cases}x+3, & x<1,\\ \dfrac{(x-5)^2}{4}, & x\ge 1.\end{cases}$$
