Упр.30.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Докажите, что заданная функция возрастает:
а) $$y=\cos x+2x$$;
б) $$y=x^5+3x^3+7x+4$$;
в) $$y=\sin x+x^3+x$$;
г) $$y=x^5+4x^3+8x-8$$.
Исследуем функцию на монотонность с помощью производной.
$$y=\cos x+2x$$
$$y’=(\cos x+2x)’=-\sin x+2$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то
$$1\le -\sin x+2\le 3.$$
Следовательно, $$y’>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
$$y=x^5+3x^3+7x+4$$
$$y’=(x^5+3x^3+7x+4)’=5x^4+9x^2+7$$
Так как $$x^4\ge 0$$ и $$x^2\ge 0,$$ то
$$5x^4+9x^2+7>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$
Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
$$y=\sin x+x^3+x$$
$$y’=(\sin x+x^3+x)’=\cos x+3x^2+1$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$\cos x+1\ge 0.$$
Кроме того, $$3x^2\ge 0.$$ Поэтому
$$y’=\cos x+3x^2+1\ge 0.$$
Причём равенство невозможно одновременно для всех слагаемых, значит, $$y’>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.
$$y=x^5+4x^3+8x-8$$
$$y’=(x^5+4x^3+8x-8)’=5x^4+12x^2+8$$
Так как $$x^4\ge 0$$ и $$x^2\ge 0,$$ то
$$5x^4+12x^2+8>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$
Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: все четыре функции возрастают на $$\mathbb{R}.$$
