Упр.30.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Изобразите эскиз графика функции $$y=f(x)$$, если промежутки постоянства знака производной $$f'(x)$$ представлены на заданной схеме: а) рис. 60; б) рис. 61; б) рис. 62; г) рис. 63.

По знакам производной строим эскиз графика функции, учитывая, что:

• если $$f'(x)>0,$$ то функция возрастает;
• если $$f'(x)<0,$$ то функция убывает;
• в точках, где знак $$f'(x)$$ меняется с $$+$$ на $$-,$$ у функции максимум;
• в точках, где знак $$f'(x)$$ меняется с $$-$$ на $$+,$$ у функции минимум.

а)

Знак производной меняется так: $$+\,,\ -\,,\ +$$, причём в точках $$x=-4$$ и $$x=3$$ производная равна нулю.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-4)$$ и $$(3;+\infty),$$ убывает на $$(-4;3).$$

Следовательно, график имеет максимум при $$x=-4$$ и минимум при $$x=3.$$

б)

Знак производной меняется так: $$-\,,\ +\,,\ -\,,\ +,$$ причём в точках $$x=0,$$ $$x=2,$$ $$x=5$$ производная равна нулю.

Значит, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(2;5),$$ возрастает на $$(0;2)$$ и $$(5;+\infty).$$

Следовательно, в точках $$x=0$$ и $$x=5$$ — минимумы, а в точке $$x=2$$ — максимум.

в)

Знак производной меняется так: $$+\,,\ -\,,\ +\,,\ -,$$ причём в точках $$x=-2,$$ $$x=4,$$ $$x=7$$ производная равна нулю.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)$$ и $$(4;7),$$ убывает на $$(-2;4)$$ и $$(7;+\infty).$$

Следовательно, в точках $$x=-2$$ и $$x=7$$ — максимумы, а в точке $$x=4$$ — минимум.

г)

Знак производной меняется так: $$+\,,\ +\,,\ -\,,\ +\,,\ -,$$ при этом в точке $$x=-1$$ производная не существует, но знак не меняется.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;0)$$, убывает на $$(0;1)$$ и $$(2;+\infty),$$ возрастает на $$(1;2).$$

Следовательно, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум, в точке $$x=2$$ — максимум, а при $$x=-1$$ экстремума нет.

Ответ: эскизы графиков должны иметь указанные промежутки возрастания и убывания, а также соответствующие точки максимума и минимума.