Упр.30.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Изобразите эскиз графика производной функции $$y=f(x)$$, если известно, что функция $$y=f(x)$$ возрастает на луче $$(-\infty; 1]$$ и убывает на луче $$[1; +\infty)$$.

Так как функция $$y=f(x)$$ возрастает на луче $$(-\infty;1]$$, то на этом промежутке $$f'(x)\ge 0$$. В точке $$x=1$$ производная равна нулю, а на луче $$[1;+\infty)$$ функция убывает, значит $$f'(x)\le 0$$.

Следовательно, эскиз графика производной должен быть таким: слева от $$x=1$$ график расположен выше оси $$Ox$$, в точке $$x=1$$ проходит через ось $$Ox$$, а справа от $$x=1$$ лежит ниже оси $$Ox$$.

Например, можно изобразить график вида $$y=1-x$$: он пересекает ось $$Ox$$ в точке $$x=1$$, при $$x<1$$ имеет положительные значения, а при $$x>1$$ — отрицательные.

Ответ: $$f'(x)>0$$ при $$x<1$$, $$f'(1)=0$$, $$f'(x)<0$$ при $$x>1$$; эскиз — убывающая кривая, пересекающая ось $$Ox$$ в точке $$x=1$$.