Упр.30.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=|x^3-3x|.$$

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$x^3-3x\ge 0$$

$$x(x^2-3)\ge 0$$

$$x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty).$$

На этих промежутках $$y=x^3-3x,$$ поэтому

$$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1).$$

Тогда $$y'(x)\ge 0$$ при $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$

С учётом области, где $$y=x^3-3x,$$ получаем возрастание на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty).$$

На промежутках, где $$x^3-3x\le 0,$$ имеем $$y=-(x^3-3x)=3x-x^3,$$ и

$$y'(x)=3-3x^2=3(1-x^2).$$

Тогда $$y'(x)\ge 0$$ при $$-1\le x\le 1.$$

С учётом области получаем возрастание на $$[-1;0]\cup[0;1],$$ то есть на $$[-1;0]\cup[0;1].$$

Итак, функция

$$\text{возрастает на }[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$

$$\text{убывает на }(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3].$$

Точки экстремума:

$$x=-\sqrt3,\;x=0,\;x=\sqrt3$$ — точки минимума;

$$x=-1,\;x=1$$ — точки максимума.

б) Рассмотрим функцию $$y=|x-x^3|.$$

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$x-x^3\ge 0$$

$$x(1-x^2)\ge 0$$

$$x(1-x)(1+x)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in[-1;0]\cup[1;+\infty).$$

На этих промежутках $$y=x-x^3,$$ поэтому

$$y'(x)=1-3x^2.$$

Тогда $$y'(x)\ge 0$$ при

$$x^2\le \frac13,\qquad -\frac{\sqrt3}{3}\le x\le \frac{\sqrt3}{3}.$$

С учётом области получаем возрастание на $$[-1;-\frac{\sqrt3}{3}]\cup[0;\frac{\sqrt3}{3}]\cup[1;+\infty).$$

На промежутках, где $$x-x^3\le 0,$$ имеем $$y=-(x-x^3)=x^3-x,$$ и

$$y'(x)=3x^2-1.$$

Тогда $$y'(x)\ge 0$$ при

$$x\le -\frac{\sqrt3}{3}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{\sqrt3}{3}.$$

С учётом области получаем убывание на $$(-\infty;-1]\cup\left[-\frac{\sqrt3}{3};0\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{3};1\right].$$

Точки экстремума:

$$x=-1,\;x=0,\;x=1$$ — точки минимума;

$$x=-\frac{\sqrt3}{3},\;x=\frac{\sqrt3}{3}$$ — точки максимума.