Упр.30.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=|x-3|-2$$; б) $$y=\left|\frac{1}{x}-1\right|$$; в) $$y=|(x-2)(x+3)|$$; г) $$y=(|x|-2)|x|$$.

а) $$y=|x-3|-2$$

Рассмотрим два случая:

$$\begin{aligned} x\ge 3&:\quad y=x-3-2=x-5,\\ &y’=1>0; \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} x<3&:\quad y=-(x-3)-2=1-x,\\ &y’=-1<0. \end{aligned}$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty)$$. В точке $$x=3$$ достигается минимум: $$y_{\min}=-2$$.

б) $$y=\left|\frac1x-1\right|$$, $$x\ne 0$$

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$\frac1x-1\ge 0 \iff \frac{1-x}{x}\ge 0 \iff 0<x\le 1.$$

Тогда

$$\begin{aligned} 0<x\le 1&:\quad y=\frac1x-1,\quad y’=-\frac1{x^2}<0; \end{aligned}$$

а при $$x<0$$ и $$x\ge 1$$

$$\begin{aligned} y&=1-\frac1x,\\ y’&=\frac1{x^2}>0. \end{aligned}$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$ с учётом области определения, то есть на $$\left(0;1\right]$$. Минимум достигается при $$x=1$$: $$y_{\min}=0$$.

в) $$y=\left|(x-2)(x+3)\right|$$

Рассмотрим знак выражения под модулем:

$$(x-2)(x+3)\ge 0 \iff x\le -3 \ \text{или}\ x\ge 2.$$

Тогда

$$\begin{aligned} x\le -3 \ \text{или}\ x\ge 2&:\quad y=(x-2)(x+3)=x^2+x-6,\\ &y’=2x+1; \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} -3\le x\le 2&:\quad y=-(x-2)(x+3)=-x^2-x+6,\\ &y’=-2x-1. \end{aligned}$$

Из знака производной получаем:

$$\begin{aligned} &y \text{ убывает на } (-\infty;-3]\cup\left[-\frac12;2\right],\\ &y \text{ возрастает на } [-3;-\tfrac12]\cup[2;+\infty). \end{aligned}$$

Точки минимума: $$x=-3$$ и $$x=2$$, точка максимума: $$x=-\frac12$$.

г) $$y=(|x|-2)|x|$$

Пусть $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и

$$y=t(t-2)=t^2-2t.$$

Рассмотрим случаи:

$$\begin{aligned} x\ge 0&:\quad y=x^2-2x,\quad y’=2x-2;\\ x\le 0&:\quad y=x^2+2x,\quad y’=2x+2. \end{aligned}$$

Отсюда:

$$\begin{aligned} &y \text{ убывает на } (-\infty;-1]\cup[0;1],\\ &y \text{ возрастает на } [-1;0]\cup[1;+\infty). \end{aligned}$$

Минимумы при $$x=-1$$ и $$x=1$$: $$y_{\min}=-1$$. Максимум при $$x=0$$: $$y_{\max}=0$$.

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty)$$; минимум при $$x=3$$, $$y_{\min}=-2$$.

б) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$\left(0;1\right]$$; минимум при $$x=1$$, $$y_{\min}=0$$.

в) убывает на $$(-\infty;-3]\cup\left[-\frac12;2\right]$$, возрастает на $$[-3;-\frac12]\cup[2;+\infty)$$; минимумы при $$x=-3$$ и $$x=2$$, максимум при $$x=-\frac12$$.

г) убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$, возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$; минимумы при $$x=-1$$ и $$x=1$$, максимум при $$x=0$$.