Упр.30.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=x-2\sqrt{x-2}.$$

Найдём область определения: $$x-2\ge 0,\quad x\ge 2.$$

Вычислим производную:

$$y’ = 1 — 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 1-\frac{1}{\sqrt{x-2}}=\frac{\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{x-2}}.$$

Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$\sqrt{x-2}-1=0,\quad \sqrt{x-2}=1,\quad x-2=1,\quad x=3.$$

На области определения $$x>2$$ знаменатель $$\sqrt{x-2}$$ положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

$$\sqrt{x-2}-1<0 \text{ при } 2<x<3,\qquad \sqrt{x-2}-1>0 \text{ при } x>3.$$

Следовательно, функция убывает на $$\left(2;3\right)$$ и возрастает на $$\left(3;+\infty\right).$$ Значит, при $$x=3$$ достигается минимум.

б) Рассмотрим функцию $$y=4\sqrt{2x-1}-x.$$

Область определения: $$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$

Найдём производную:

$$y’ = 4\cdot \frac{2}{2\sqrt{2x-1}}-1=\frac{4}{\sqrt{2x-1}}-1=\frac{4-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}.$$

Критическую точку найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$4-\sqrt{2x-1}=0,\quad \sqrt{2x-1}=4,\quad 2x-1=16,\quad x=\frac{17}{2}.$$

На области определения $$x>\frac12$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

$$4-\sqrt{2x-1}>0 \text{ при } \frac12<x<\frac{17}{2},\qquad 4-\sqrt{2x-1}<0 \text{ при } x>\frac{17}{2}.$$

Значит, функция возрастает на $$\left(\frac12;\frac{17}{2}\right)$$ и убывает на $$\left(\frac{17}{2};+\infty\right).$$ Следовательно, при $$x=\frac{17}{2}$$ достигается максимум.

Ответ

а) $$x=3$$ — точка минимума.
б) $$x=\frac12$$ — точка минимума, $$x=\frac{17}{2}$$ — точка максимума.