Упр.30.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=-5x^5+3x^3$$
Найдём производную:
$$y’=-25x^4+9x^2=x^2(9-25x^2)=x^2(3-5x)(3+5x).$$
Критические точки:
$$y’=0 \iff x=0,\; x=\pm \frac35.$$
Исследуем знак производной. Так как $$x^2\ge 0,$$ знак $$y’$$ определяется множителем $$9-25x^2.$$
При $$|x|<\frac35$$ имеем $$y’>0,$$ при $$|x|>\frac35$$ имеем $$y'<0.$$
Значит, в точке $$x=-\frac35$$ функция меняет знак производной с «−» на «+», а в точке $$x=\frac35$$ — с «+» на «−».
$$y\!\left(-\frac35\right)= -5\left(-\frac35\right)^5+3\left(-\frac35\right)^3=-\frac{162}{625},$$
$$y\!\left(\frac35\right)= -5\left(\frac35\right)^5+3\left(\frac35\right)^3=\frac{162}{625}.$$
Следовательно, $$x=-\frac35$$ — точка минимума, $$x=\frac35$$ — точка максимума.
б) $$y=x^4-4x^3-8x^2+13$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-12x^2-16x=4x(x^2-3x-4)=4x(x+1)(x-4).$$
Критические точки:
$$y’=0 \iff x=-1,\;0,\;4.$$
По знакам производной получаем:
- при $$x<-1$$: $$y'<0,$$
- при $$-1<x<0$$: $$y’>0,$$
- при $$0<x<4$$: $$y'<0,$$
- при $$x>4$$: $$y’>0.$$
Значит, $$x=-1$$ и $$x=4$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.
$$y(-1)=1+4-8+13=10,$$
$$y(0)=13,$$
$$y(4)=256-256-128+13=-115.$$
в) $$y=x^4-50x^2$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-100x=4x(x^2-25)=4x(x-5)(x+5).$$
Критические точки:
$$y’=0 \iff x=-5,\;0,\;5.$$
По знакам производной:
- при $$x<-5$$: $$y'<0,$$
- при $$-5<x<0$$: $$y’>0,$$
- при $$0<x<5$$: $$y'<0,$$
- при $$x>5$$: $$y’>0.$$
Следовательно, $$x=-5$$ и $$x=5$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.
$$y(-5)=625-1250=-625,\qquad y(0)=0,\qquad y(5)=625-1250=-625.$$
г) $$y=2x^5+5x^4-10x^3+3$$
Найдём производную:
$$y’=10x^4+20x^3-30x^2=10x^2(x^2+2x-3)=10x^2(x+3)(x-1).$$
Критические точки:
$$y’=0 \iff x=-3,\;0,\;1.$$
Так как $$10x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$x^2+2x-3.$$
Получаем:
- при $$x<-3$$: $$y’>0,$$
- при $$-3<x<1$$: $$y'<0,$$
- при $$x>1$$: $$y’>0.$$
Значит, $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума, а $$x=0$$ — не является точкой экстремума.
$$y(-3)=2(-3)^5+5(-3)^4-10(-3)^3+3=84,$$
$$y(1)=2+5-10+3=0.$$
Ответ
а) максимум при $$x=\frac35$$, минимум при $$x=-\frac35$$;
б) максимума нет; минимумы при $$x=-1$$ и $$x=4$$, максимум при $$x=0$$;
в) максимума нет; минимумы при $$x=-5$$ и $$x=5$$, максимум при $$x=0$$;
г) максимум при $$x=-3$$, минимум при $$x=1$$.
