Упр.30.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производную и исследуем её знак.

а)

$$y=\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+6x-1$$

$$y’ = x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=3$$.

Знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;2) & 2 & (2;3) & 3 & (3;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$

Следовательно, при $$x=2$$ — точка максимума, при $$x=3$$ — точка минимума.

б)

$$y=x^3-27x+26$$

$$y’ = 3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3)$$

Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=3$$.

Знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-3) & -3 & (-3;3) & 3 & (3;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$

Значит, $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

в)

$$y=x^3-7x^2-5x+11$$

$$y’ = 3x^2-14x-5=(3x+1)(x-5)$$

Критические точки: $$x=-\frac13$$ и $$x=5$$.

Знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-\frac13) & -\frac13 & (-\frac13;5) & 5 & (5;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \end{array}$$

Следовательно, $$x=-\frac13$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума.

г)

$$y=-2x^3+21x^2+19$$

$$y’=-6x^2+42x=-6x(x-7)$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=7$$.

Знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;0) & 0 & (0;7) & 7 & (7;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \end{array}$$

Значит, $$x=0$$ — точка минимума, $$x=7$$ — точка максимума.

Ответ

а) $$x=2$$ — максимум, $$x=3$$ — минимум; б) $$x=-3$$ — максимум, $$x=3$$ — минимум; в) $$x=-\frac13$$ — максимум, $$x=5$$ — минимум; г) $$x=0$$ — минимум, $$x=7$$ — максимум.