Упр.30.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=2x+\frac{8}{x}$$; б) $$y=\sqrt{2x-1}$$; в) $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x}$$; г) $$y=x-3^4$$.

а) $$y=2x+\frac{8}{x}$$

Найдём производную:

$$y’ = 2 — \frac{8}{x^2} = \frac{2x^2-8}{x^2} = \frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

Критические точки: $$x=\pm 2$$, при этом $$x=0$$ не входит в область определения.

Знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-2;0)\cup(0;2).$$

Следовательно, в точке $$x=-2$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

б) $$y=\sqrt{2x-1}$$

Область определения:

$$2x-1\ge 0,\qquad x\ge \frac12.$$

Производная:

$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.$$

На области определения при $$x>\frac12$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right).$$

В точке $$x=\frac12$$ производная не существует, но это не точка экстремума, а левее область определения отсутствует.

Точек экстремума нет.

в) $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac15-\frac{5}{x^2}=\frac{x^2-25}{5x^2}=\frac{(x-5)(x+5)}{5x^2}.$$

Критические точки: $$x=\pm 5$$, при этом $$x=0$$ не входит в область определения.

Знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-5)\cup(5;+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-5;0)\cup(0;5).$$

Значит, в точке $$x=-5$$ — максимум, а в точке $$x=5$$ — минимум.

г) $$y=x-3^4$$

Так как $$3^4=81$$, то

$$y=x-81.$$

Это линейная функция, её производная постоянна:

$$y’=1.$$

Функция возрастает при всех $$x\in\mathbb{R}$$, поэтому точек экстремума нет.

Ответ

а) максимум при $$x=-2$$, минимум при $$x=2$$;
б) точек экстремума нет;
в) максимум при $$x=-5$$, минимум при $$x=5$$;
г) точек экстремума нет.