Упр.30.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

а) $$y=7+12x-x^3$$; б) $$y=8+2x^2-x^4$$; в) $$y=3x^3+2x^2-7$$; г) $$y=x^4-8x^2$$.

а) $$y=7+12x-x^3$$

Найдём производную:

$$y’ = 12-3x^2 = -3(x-2)(x+2).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=-2,\; x=2.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-2) & -2 & (-2;2) & 2 & (2;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — \\ \end{array}$$

Значит, при $$x=-2$$ функция меняет убывание на возрастание, это точка минимума; при $$x=2$$ — возрастание на убывание, это точка максимума.

б) $$y=8+2x^2-x^4$$

Найдём производную:

$$y’ = 4x-4x^3 = -4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=-1,\; x=0,\; x=1.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;0) & 0 & (0;1) & 1 & (1;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + & 0 & — \\ \end{array}$$

Следовательно, $$x=-1$$ и $$x=1$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.

в) $$y=3x^3+2x^2-7$$

Найдём производную:

$$y’ = 9x^2+4x = x(9x+4).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=0,\; x=-\frac49.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-\frac49) & -\frac49 & (-\frac49;0) & 0 & (0;+\infty) \\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + \\ \end{array}$$

Значит, $$x=-\frac49$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.

г) $$y=x^4-8x^2$$

Найдём производную:

$$y’ = 4x^3-16x = 4x(x-2)(x+2).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff x=-2,\; x=0,\; x=2.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-2) & -2 & (-2;0) & 0 & (0;2) & 2 & (2;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — & 0 & + \\ \end{array}$$

Следовательно, $$x=-2$$ и $$x=2$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.

Ответ

а) $$x=-2$$ — точка минимума, $$x=2$$ — точка максимума;
б) $$x=-1$$ и $$x=1$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума;
в) $$x=-\frac49$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума;
г) $$x=-2$$ и $$x=2$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.