Упр.30.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ заданная функция имеет одну стационарную точку:

а) $$y=x^3-3ax^2+27x-5$$;

б) $$y=x^3-3ax^2+75x-10$$?

Найдём производную функции и потребуем, чтобы уравнение $$y'(x)=0$$ имело единственный корень.

а)

$$y=x^3-3ax^2+27x-5$$

Тогда

$$y'(x)=3x^2-6ax+27.$$

Стационарные точки находятся из уравнения

$$3x^2-6ax+27=0,$$

или

$$x^2-2ax+9=0.$$

Чтобы была одна стационарная точка, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть

$$D=(2a)^2-4\cdot 9=4a^2-36=0.$$

Отсюда

$$a^2=9,\qquad a=\pm 3.$$

б)

$$y=x^3-3ax^2+75x-10$$

Тогда

$$y'(x)=3x^2-6ax+75.$$

Стационарные точки находятся из уравнения

$$3x^2-6ax+75=0,$$

или

$$x^2-2ax+25=0.$$

Чтобы была одна стационарная точка, нужно

$$D=(2a)^2-4\cdot 25=4a^2-100=0.$$

Отсюда

$$a^2=25,\qquad a=\pm 5.$$

Ответ: а) $$a=\pm 3$$; б) $$a=\pm 5$$.