Упр.30.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y = 2x^3 — 3x^2 + 7$$ возрастает в интервале $$(a — 1; a + 1)$$?
   б) При каких значениях параметра $$a$$ функция $$y = -x^3 + 3x + 5$$ убывает в интервале $$(a; a + \frac{1}{2})$$?

а) Найдём производную функции:

$$y’=(2x^3-3x^2+7)’=6x^2-6x=6x(x-1).$$

Функция возрастает там, где $$y’ \ge 0,$$ то есть при

$$x \le 0 \quad \text{или} \quad x \ge 1.$$

Чтобы функция возрастала на интервале $$\left(a-1;\,a+1\right),$$ этот интервал должен целиком лежать в области возрастания. Возможны два случая:

$$a+1 \le 0 \quad \text{или} \quad a-1 \ge 1.$$

Отсюда

$$a \le -1 \quad \text{или} \quad a \ge 2.$$

Ответ: $$a \in (-\infty;\,-1] \cup [2;\,+\infty).$$

б) Найдём производную функции:

$$y’=(-x^3+3x+5)’=-3x^2+3=-3(x^2-1)=-3(x-1)(x+1).$$

Функция убывает там, где $$y’ \le 0,$$ то есть при

$$x \le -1 \quad \text{или} \quad x \ge 1.$$

Чтобы функция убывала на интервале $$\left(a;\,a+\frac12\right),$$ этот интервал должен целиком лежать в области убывания. Возможны два случая:

$$a+\frac12 \le -1 \quad \text{или} \quad a \ge 1.$$

Из первого неравенства получаем

$$a \le -\frac32.$$

Следовательно,

Ответ: $$a \in (-\infty;\,-\tfrac32] \cup [1;\,+\infty).$$