Упр.30.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$b$$ функция убывает на всей области определения:

1. $$y=7+bx-x^2-x^3$$;
2. $$y=-2\sqrt{x+3}+bx$$;
3. $$y=x^3+bx^2+3x+21$$;
4. $$y=-2bx+\sqrt{1-x}$$?

Найдём производную и потребуем, чтобы она была неположительной на всей области определения функции.

1. $$y=7+bx-x^2-x^3$$

   $$y'(x)=b-2x-3x^2$$

   Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы

   $$b-2x-3x^2\le 0$$

   для всех $$x$$. Это равносильно тому, что квадратный трёхчлен

   $$3x^2+2x-b$$

   неотрицателен при всех $$x$$. Так как старший коэффициент положителен, достаточно потребовать

   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-b)=4+12b\le 0.$$

   Отсюда

   $$b\le -\frac13.$$

2. $$y=-2\sqrt{x+3}+bx$$

   Область определения: $$x\ge -3$$.

   $$y'(x)=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}+b=b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}$$

   Требуем:

   $$b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\le 0$$

   для всех $$x\ge -3$$. При $$x\to +\infty$$ имеем

   $$\frac{1}{\sqrt{x+3}}\to 0,$$

   значит, должно быть $$b\le 0$$. При таком $$b$$ неравенство выполняется для всех $$x\ge -3$$.

3. $$y=x^3+bx^2+3x+21$$

   $$y'(x)=3x^2+2bx+3$$

   Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы

   $$3x^2+2bx+3\le 0$$

   для всех $$x$$. Но старший коэффициент равен $$3>0$$, поэтому при больших $$|x|$$ выражение $$3x^2+2bx+3$$ положительно. Следовательно, такое $$b$$ не существует.

4. $$y=-2bx+\sqrt{1-x}$$

   Область определения: $$x\le 1$$.

   $$y'(x)=-2b-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$

   Требуем:

   $$-2b-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\le 0$$

   для всех $$x\le 1$$. Так как

   $$\frac{1}{2\sqrt{1-x}}>0,$$

   достаточно и необходимо, чтобы

   $$b\ge 0.$$

Ответ: а) $$b\le -\frac13$$; б) $$b\le 0$$; в) таких значений $$b$$ нет; г) $$b\ge 0$$.