Упр.30.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$ax-\cos x$$; б) $$y=2\sin 2x-ax$$

Найдём производную функции и потребуем, чтобы она была неотрицательной при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

а)

$$y=ax-\cos x$$

$$y'(x)=a+\sin x$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$a+\sin x \ge 0$$

при всех $$x$$.

Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то наименьшее значение выражения $$a+\sin x$$ равно $$a-1.$$

Следовательно, должно выполняться

$$a-1 \ge 0,$$

то есть

$$a \ge 1.$$

б)

$$y=2\sin 2x-ax$$

$$y'(x)=4\cos 2x-a$$

Для возрастания на всей числовой прямой требуется

$$4\cos 2x-a \ge 0$$

при всех $$x$$.

Так как $$-1 \le \cos 2x \le 1,$$ то наибольшее значение выражения $$4\cos 2x-a$$ равно $$4-a.$$

Чтобы оно было неотрицательным при всех $$x$$, нужно

$$4-a \ge 0,$$

откуда

$$a \le 4.$$

Ответ

а) $$a \in [1;+\infty)$$

б) $$a \in (-\infty;4]$$