Упр.30.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ функция возрастает на всей числовой прямой:
   а) $$y=x^3+ax$$;
   б) $$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+5x-3$$?

Функция возрастает на всей числовой прямой, если её производная неотрицательна при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

а)

$$y=x^3+ax$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3x^2+a$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$3x^2+a\ge 0$$

при всех $$x$$. Так как $$3x^2\ge 0$$ для любого $$x$$, минимальное значение выражения $$3x^2+a$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$a$$. Значит,

$$a\ge 0$$

б)

$$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+5x-3$$

Найдём производную:

$$y'(x)=x^2-2ax+5$$

Для возрастания на всей числовой прямой нужно, чтобы

$$x^2-2ax+5\ge 0$$

при всех $$x$$. Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом. Он неотрицателен при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 5=4a^2-20=4(a^2-5)\le 0$$

Отсюда

$$a^2\le 5$$

$$-\sqrt{5}\le a\le \sqrt{5}$$

Ответ

а) $$a\in[0;+\infty)$$; б) $$a\in[-\sqrt{5};\sqrt{5}]$$.