Упр.30.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=7\cos x-5\sin 3x-22x$$ убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.
2. $$y=3\cos 7x-8\sin\frac{x}{2}-25x+1$$ убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.

Найдём производные функций и покажем, что они не положительны при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

а)

$$y=7\cos x-5\sin 3x-22x$$

Тогда

$$y'(x)=7(\cos x)’-5(\sin 3x)’- (22x)’$$

$$y'(x)=7(-\sin x)-5\cdot 3\cos 3x-22$$

$$y'(x)=-7\sin x-15\cos 3x-22$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1$$ и $$-1\le \cos 3x\le 1$$, то

$$-7\le 7\sin x\le 7,$$

$$-15\le 15\cos 3x\le 15.$$

Следовательно,

$$-22\le 7\sin x+15\cos 3x+22,$$

а значит

$$y'(x)=-\bigl(7\sin x+15\cos 3x\bigr)-22\le 0.$$

Итак, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

б)

$$y=3\cos 7x-8\sin \frac{x}{2}-25x+1$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3\cdot 7(-\sin 7x)-8\cdot \frac12 \cos \frac{x}{2}-(25x+1)’$$

$$y'(x)=-21\sin 7x-4\cos \frac{x}{2}-25$$

Так как $$-1\le \sin 7x\le 1$$ и $$-1\le \cos \frac{x}{2}\le 1,$$ то

$$-21\le 21\sin 7x\le 21,$$

$$-4\le 4\cos \frac{x}{2}\le 4.$$

Значит,

$$-25\le 21\sin 7x+4\cos \frac{x}{2}+25,$$

поэтому

$$y'(x)=-\bigl(21\sin 7x+4\cos \frac{x}{2}\bigr)-25\le 0.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;+\infty)$$; б) убывает на $$(-\infty;+\infty).$$