Упр.30.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные функций и покажем, что они отрицательны при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

а)

$$y=-x^3-5x+3$$

$$y'(x)=-(x^3)’+(-5x+3)’=-3x^2-5.$$

Так как $$x^2 \ge 0,$$ то $$-3x^2 \le 0,$$ значит

$$y'(x)=-3x^2-5<0$$

при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.

б)

$$y=-2x^5-7x^3-x+8$$

$$y'(x)=-2(x^5)’-7(x^3)’+(-x+8)’=-10x^4-21x^2-1.$$

Так как $$x^4 \ge 0,\quad x^2 \ge 0,$$ то

$$y'(x)=-10x^4-21x^2-1<0$$

при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Значит, функция убывает на всей числовой прямой.

в)

$$y=-x^3+3x^2-6x+1$$

$$y'(x)=-(x^3)’+3(x^2)’+(-6x+1)’=-3x^2+6x-6.$$

Рассмотрим выражение:

$$-3x^2+6x-6=-3(x^2-2x+2).$$

Так как

$$x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0,$$

то

$$y'(x)<0$$

при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.

г)

$$y=-4x^3+4x^2-2x+9$$

$$y'(x)=-4(x^3)’+4(x^2)’+(-2x+9)’=-12x^2+8x-2.$$

Преобразуем:

$$-12x^2+8x-2=-2(6x^2-4x+1).$$

Поскольку

$$6x^2-4x+1=6\left(x-\frac13\right)^2+\frac13>0,$$

то

$$y'(x)<0$$

при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Значит, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: все четыре функции убывают на $$(-\infty;+\infty)$$.