Упр.30.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Докажем возрастание каждой функции с помощью производной.
$$y=7x-\cos 2x$$
Найдём производную:
$$y'(x)=(7x)’-(\cos 2x)’=7+2\sin 2x.$$
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
$$y'(x)=7+2\sin 2x\ge 7-2=5>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
$$y=3\tg x$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3(\tg x)’=3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}.$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\cos x\ne 0,$$ значит $$\cos^2 x>0,$$ поэтому
$$y'(x)>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$
$$y=-\ctg x$$
Найдём производную:
$$y'(x)=- (\ctg x)’=-\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=\frac{1}{\sin^2 x}.$$
На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ имеем $$\sin x>0,$$ значит $$\sin^2 x>0,$$ поэтому
$$y'(x)>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;\pi\right).$$
$$y=10x+\sin 3x$$
Найдём производную:
$$y'(x)=(10x)’+(\sin 3x)’=10+3\cos 3x.$$
Так как $$-1\le \cos 3x\le 1,$$ то
$$y'(x)=10+3\cos 3x\ge 10-3=7>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
Ответ: а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$; в) $$\left(0;\pi\right)$$; г) $$(-\infty;+\infty).$$
