Упр.30.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Докажите, что функция:
а) $$y=x^5+3x-6$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
б) $$y=15-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}$$ возрастает на $$(-\infty;0)$$;
в) $$y=x^7+7x^3+2x-42$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
г) $$y=21x-\frac{1}{x^5}$$ возрастает на $$(0;+\infty)$$.
Докажем возрастание каждой функции с помощью производной.
$$y=x^5+3x-6$$
Найдём производную:
$$y'(x)=(x^5)’ + (3x)’ — 6′ = 5x^4 + 3.$$
Так как $$x^4 \ge 0$$ при любом $$x$$, то
$$5x^4+3>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
$$y=15-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}, \quad x<0$$
Найдём производную:
$$y'(x)=0-\left(\frac{2}{x}\right)’-\left(\frac{1}{x^3}\right)’=0-2(-x^{-2})-(-3x^{-4})=\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}.$$
При $$x\ne 0$$ имеем $$x^2>0$$ и $$x^4>0$$, значит
$$\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0).$$
$$y=x^7+7x^3+2x-42$$
Найдём производную:
$$y'(x)=(x^7)’ + 7(x^3)’ + (2x-42)’ = 7x^6 + 21x^2 + 2.$$
Так как $$x^6 \ge 0$$ и $$x^2 \ge 0$$, то
$$7x^6+21x^2+2>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
$$y=21x-\frac{1}{x^5}, \quad x>0$$
Найдём производную:
$$y'(x)=(21x)’ — (x^{-5})’ = 21 — (-5x^{-6}) = 21+\frac{5}{x^6}.$$
При $$x>0$$ имеем $$x^6>0$$, значит
$$21+\frac{5}{x^6}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Ответ: а) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$; б) на $$(-\infty;0)$$; в) на $$(-\infty;+\infty)$$; г) на $$\left(0;+\infty\right).$$
