Упр.30.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=\sqrt{3x-1}$$
Область определения:
$$3x-1\ge 0,\qquad x\ge \frac13.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}.$$
На области определения $$y’>0$$, значит функция возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right).$$
б) $$y=\sqrt{1-x}+2x$$
Область определения:
$$1-x\ge 0,\qquad x\le 1.$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+2=\frac{4\sqrt{1-x}-1}{2\sqrt{1-x}}.$$
Критическая точка:
$$4\sqrt{1-x}-1=0,\qquad \sqrt{1-x}=\frac14,\qquad 1-x=\frac1{16},\qquad x=\frac{15}{16}.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;\frac{15}{16}\right],\qquad y'<0 \text{ при } x\in\left[\frac{15}{16};1\right].$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right].$$
в) $$y=\sqrt{1-2x}$$
Область определения:
$$1-2x\ge 0,\qquad x\le \frac12.$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}.$$
На области определения $$y'<0$$, значит функция убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right].$$
г) $$y=\sqrt{2x-1}-x$$
Область определения:
$$2x-1\ge 0,\qquad x\ge \frac12.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-1=\frac{1-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}.$$
Критическая точка:
$$1-\sqrt{2x-1}=0,\qquad \sqrt{2x-1}=1,\qquad 2x-1=1,\qquad x=1.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in\left[\frac12;1\right],\qquad y'<0 \text{ при } x\in\left[1;+\infty\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[\frac12;1\right]$$ и убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$
Ответ
а) возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right)$$; б) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right]$$; в) убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right]$$; г) возрастает на $$\left[\frac12;1\right]$$, убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$
