Упр.30.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной.

а) $$y=\frac{1}{x+3}$$

Область определения: $$x\neq -3.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{1}{x+3}\right)’=-\frac{1}{(x+3)^2}.$$

Так как $$\,(x+3)^2>0\,$$ при всех $$x\neq -3,$$ то

$$y'<0.$$

Следовательно, функция убывает на промежутках $$(-\infty;-3)$$ и $$(-3;+\infty).$$

б) $$y=\frac{3x-1}{3x+1}$$

Область определения: $$x\neq -\frac13.$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$y’=\frac{(3x-1)'(3x+1)-(3x-1)(3x+1)’}{(3x+1)^2} =\frac{3(3x+1)-3(3x-1)}{(3x+1)^2} =\frac{6}{(3x+1)^2}.$$

Так как $$\,(3x+1)^2>0\,$$ при всех $$x\neq -\frac13,$$ то

$$y’>0.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-\frac13)$$ и $$(-\frac13;+\infty).$$

в) $$y=\frac{2}{x}+1$$

Область определения: $$x\neq 0.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{2}{x}+1\right)’=-\frac{2}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\neq 0,$$ то

$$y'<0.$$

Следовательно, функция убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty).$$

г) $$y=\frac{1-2x}{3+2x}$$

Область определения: $$x\neq -\frac32.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(1-2x)'(3+2x)-(1-2x)(3+2x)’}{(3+2x)^2} =\frac{-2(3+2x)-2(1-2x)}{(3+2x)^2} =\frac{-8}{(3+2x)^2}.$$

Так как $$\,(3+2x)^2>0\,$$ при всех $$x\neq -\frac32,$$ то

$$y'<0.$$

Следовательно, функция убывает на промежутках $$(-\infty;-\frac32)$$ и $$(-\frac32;+\infty).$$

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$$;

б) возрастает на $$(-\infty;-\frac13)\cup(-\frac13;+\infty)$$;

в) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;

г) убывает на $$(-\infty;-\frac32)\cup(-\frac32;+\infty)$$.