Упр.30.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность: а) $$y=x^4-2x^2-3$$; б) $$y=-x^5-x$$; в) $$y=-3x^4+4x^3-15$$; г) $$y=5x^5-1$$.
Исследуем функцию на монотонность с помощью производной.
а) $$y=x^4-2x^2-3$$
$$y’=(x^4-2x^2-3)’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
Знак производной:
| $$x$$ | $$(-\infty;-1)$$ | $$-1$$ | $$(-1;0)$$ | $$0$$ | $$(0;1)$$ | $$1$$ | $$(1;+\infty)$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y’$$ | $$-$$ | $$0$$ | $$+$$ | $$0$$ | $$-$$ | $$0$$ | $$+$$ |
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1] \cup [0;1]$$ и возрастает на $$[-1;0] \cup [1;+\infty)$$.
б) $$y=-x^5-x$$
$$y’=(-x^5-x)’=-5x^4-1$$
Так как $$x^4\ge 0$$, то $$-5x^4-1<0$$ при всех $$x$$. Значит, функция монотонно убывает на всей числовой прямой.
в) $$y=-3x^4+4x^3-15$$
$$y’=(-3x^4+4x^3-15)’=-12x^3+12x^2=12x^2(1-x)$$
Критические точки: $$x=0,\;1.$$
Так как $$12x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$1-x$$:
| $$x$$ | $$(-\infty;0)$$ | $$0$$ | $$(0;1)$$ | $$1$$ | $$(1;+\infty)$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$y’$$ | $$+$$ | $$0$$ | $$+$$ | $$0$$ | $$-$$ |
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$.
г) $$y=5x^5-1$$
$$y’=(5x^5-1)’=25x^4$$
Так как $$25x^4\ge 0$$ при всех $$x$$, а знак производной не меняется, функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: а) возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$; б) убывает на всей числовой прямой; в) возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; г) возрастает на всей числовой прямой.
