Упр.30.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной.

а)

$$y=x^3+2x$$

$$y’=(x^3+2x)’=3x^2+2$$

Так как $$3x^2+2>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, то функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.

б)

$$y=60+45x-3x^2-x^3$$

$$y’=(60+45x-3x^2-x^3)’=45-6x-3x^2=-3(x^2+2x-15)=-3(x+5)(x-3)$$

Найдём знаки производной:

$$y’>0$$ при $$x\in[-5;3]$$, а $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$$.

Следовательно, функция возрастает на $$[-5;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$$.

Ответ: возрастает на $$[-5;3]$$, убывает на $$(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$$.

в)

$$y=2x^3-3x^2-36x+40$$

$$y’=(2x^3-3x^2-36x+40)’=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)=6(x-3)(x+2)$$

Тогда $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$, а $$y'<0$$ при $$x\in[-2;3]$$.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;3]$$.

Ответ: возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[-2;3]$$.

г)

$$y=-x^5+5x$$

$$y’=(-x^5+5x)’=-5x^4+5=-5(x^4-1)=-5(x-1)(x+1)(x^2+1)$$

Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется множителем $$-5(x-1)(x+1)$$.

Получаем: $$y’>0$$ при $$x\in[-1;1]$$, а $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.

Следовательно, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.

Ответ: возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.