Упр.30.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой; укажите характер монотонности:

а) $$y=x^5+6x^3-7$$;

б) $$y=\sin x-2x-15$$;

в) $$y=x-\cos x+8$$;

г) $$y=11-5x-x^3$$.

а) $$y=x^5+6x^3-7$$

Найдём производную:

$$y’=(x^5+6x^3-7)’=5x^4+18x^2=x^2(5x^2+18).$$

Так как $$x^2\ge 0$$ и $$5x^2+18>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$, то $$y’\ge 0$$ на всей числовой прямой. Следовательно, функция монотонно возрастает на $$\mathbb R$$.

Ответ: возрастает.

б) $$y=\sin x-2x-15$$

Найдём производную:

$$y’=(\sin x-2x-15)’=\cos x-2.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то

$$-3\le \cos x-2\le -1,$$

значит, $$y'<0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$. Следовательно, функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

Ответ: убывает.

в) $$y=x-\cos x+8$$

Найдём производную:

$$y’=(x-\cos x+8)’=1+\sin x.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то

$$0\le 1+\sin x\le 2.$$

Следовательно, $$y’\ge 0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$, значит, функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: возрастает.

г) $$y=11-5x-x^3$$

Найдём производную:

$$y’=(11-5x-x^3)’=-5-3x^2.$$

Так как $$x^2\ge 0$$, то $$-5-3x^2<0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$. Следовательно, функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

Ответ: убывает.