Упр.30.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что заданная функция убывает:

а) $$y=\sin 2x-3x$$;

б) $$y=\cos 3x-4x$$.

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной.

а) $$y=\sin 2x-3x$$

Найдём производную:

$$y’=(\sin 2x-3x)’=2\cos 2x-3.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$-2\le 2\cos 2x\le 2,$$

следовательно,

$$-5\le 2\cos 2x-3\le -1.$$

Значит, $$y'<0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому функция $$y=\sin 2x-3x$$ убывает на всей числовой прямой.

б) $$y=\cos 3x-4x$$

Найдём производную:

$$y’=(\cos 3x-4x)’=-3\sin 3x-4.$$

Так как $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ то

$$-3\le -3\sin 3x\le 3,$$

следовательно,

$$-7\le -3\sin 3x-4\le -1.$$

Значит, $$y'<0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому функция $$y=\cos 3x-4x$$ убывает на всей числовой прямой.

Ответ: обе функции убывают на $$\mathbb{R}$$.