Упр.3.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функций: а) $$y=x^2+4x-8$$, $$x\in[-3;0]$$; б) $$y=x^2+4x-8$$, $$x\in(-\infty;-2)$$; в) $$y=-x^2+2x+6$$, $$x\in[0;3]$$; г) $$y=-x^2+2x+6$$, $$x\in[3;+\infty)$$.

а) $$y=x^2+4x-8,\quad x\in[-3;0].$$

Найдём вершину параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2.$$

Так как $$-2\in[-3;0],$$ на данном промежутке функция сначала убывает, затем возрастает, значит, она не является взаимно однозначной. Обратная функция не существует.

б) $$y=x^2+4x-8,\quad x\in(-\infty;-2).$$

На промежутке $$(-\infty;-2)$$ функция монотонно убывает, поэтому обратная функция существует.

Преобразуем выражение:

$$y=x^2+4x-8=(x+2)^2-12.$$

Тогда

$$y+12=(x+2)^2.$$

Так как $$x<-2,$$ то $$x+2<0,$$ значит

$$x+2=-\sqrt{y+12}.$$

Следовательно,

$$f^{-1}(x)=-\sqrt{x+12}-2,\quad x>-12.$$

в) $$y=-x^2+2x+6,\quad x\in[0;3].$$

Вершина параболы имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.$$

Так как $$1\in[0;3],$$ на отрезке функция сначала возрастает, затем убывает, значит, обратная функция не существует.

г) $$y=-x^2+2x+6,\quad x\in[3;+\infty).$$

На промежутке $$[3;+\infty)$$ функция монотонно убывает, поэтому обратная функция существует.

Преобразуем:

$$y=-x^2+2x+6=-(x-1)^2+7.$$

Тогда

$$7-y=(x-1)^2.$$

Так как $$x\ge 3,$$ то $$x-1\ge 2,$$ значит

$$x-1=\sqrt{7-y}.$$

Следовательно,

$$f^{-1}(x)=\sqrt{7-x}+1,\quad x\le 3.$$

Ответ

а) обратная функция не существует;
б) $$f^{-1}(x)=-\sqrt{x+12}-2,\quad x>-12;$$
в) обратная функция не существует;
г) $$f^{-1}(x)=\sqrt{7-x}+1,\quad x\le 3.$$