Упр.29.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Определите, какой угол образует с осью $$x$$ касательная, проведённая к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$, если:

• а) $$f(x)=x^2$$, $$a=0{,}5$$;
• б) $$f(x)=-3x^3$$, $$a=\frac{1}{3}$$;
• в) $$f(x)=0{,}2x^5$$, $$a=-1$$;
• г) $$f(x)=-0{,}25x^4$$, $$a=0$$.

Найдём производную функции и вычислим угловой коэффициент касательной в точке $$x=a$$. Тогда $$\tan \alpha = f'(a)$$, где $$\alpha$$ — угол между касательной и положительным направлением оси $$x$$.

1. $$f(x)=x^2,\quad a=0{,}5$$

   $$f'(x)=2x$$

   $$f'(0{,}5)=2\cdot 0{,}5=1$$

   $$\tan \alpha =1 \Rightarrow \alpha=\arctan 1=45^\circ$$

2. $$f(x)=-3x^3,\quad a=\frac13$$

   $$f'(x)=-9x^2$$

   $$f’\!\left(\frac13\right)=-9\cdot \left(\frac13\right)^2=-1$$

   Так как $$\tan \alpha=-1$$, то $$\alpha=135^\circ$$.

3. $$f(x)=0{,}2x^5,\quad a=-1$$

   $$f'(x)=0{,}2\cdot 5x^4=x^4$$

   $$f'(-1)=(-1)^4=1$$

   $$\tan \alpha =1 \Rightarrow \alpha=45^\circ$$

4. $$f(x)=-0{,}25x^4,\quad a=0$$

   $$f'(x)=-0{,}25\cdot 4x^3=-x^3$$

   $$f'(0)=0$$

   $$\tan \alpha =0 \Rightarrow \alpha=0^\circ$$

Ответ: а) $$45^\circ$$; б) $$135^\circ$$; в) $$45^\circ$$; г) $$0^\circ$$.