Упр.29.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) При каком значении параметра $$p$$ касательная к графику функции $$y=x^3-px$$ в точке $$x=1$$ проходит через точку $$(2; 3)$$?

   б) При каком значении параметра $$p$$ касательная к графику функции $$y=x^3+px^2$$ в точке $$x=1$$ проходит через точку $$(3; 2)$$?

Найдём уравнение касательной в точке $$x=1$$ и потребуем, чтобы она проходила через заданную точку.

а)

$$f(x)=x^3-px$$

$$f(1)=1-p$$

$$f'(x)=3x^2-p,\qquad f'(1)=3-p$$

Уравнение касательной:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=(1-p)+(3-p)(x-1)$$

Упростим:

$$y=(1-p)+(3-p)x-(3-p)= (3-p)x-2$$

Так как касательная проходит через точку $$\left(2;3\right)$$, подставим её координаты:

$$3=(3-p)\cdot 2-2$$

$$3=6-2p-2$$

$$3=4-2p$$

$$2p=1$$

$$p=\frac12$$

б)

$$f(x)=x^3+px^2$$

$$f(1)=1+p$$

$$f'(x)=3x^2+2px,\qquad f'(1)=3+2p$$

Уравнение касательной:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=(1+p)+(3+2p)(x-1)$$

Упростим:

$$y=(1+p)+(3+2p)x-(3+2p)= (3+2p)x-p-2$$

Касательная проходит через точку $$\left(3;2\right)$$:

$$2=(3+2p)\cdot 3-p-2$$

$$2=9+6p-p-2$$

$$2=7+5p$$

$$5p=-5$$

$$p=-1$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$-1$$.